6. Optimización y análisis de funciones

  1. Optimización y análisis de funciones

La optimización es el proceso de encontrar el valor máximo o mínimo de una función en un intervalo dado. En esta sección, veremos cómo utilizar las derivadas para encontrar los máximos y mínimos de una función, así como para resolver problemas de optimización. También veremos cómo utilizar las derivadas para analizar el comportamiento de una función y graficarla.

6.1. Máximos y mínimos de funciones

Para encontrar los máximos y mínimos de una función, debemos buscar los puntos donde la derivada de la función es cero o no está definida. Estos puntos se denominan puntos críticos de la función. Una vez que hemos encontrado los puntos críticos, debemos determinar si son máximos, mínimos o puntos de silla.

Para determinar si un punto crítico es un máximo o un mínimo, podemos utilizar la prueba de la segunda derivada. Si la segunda derivada de la función en el punto crítico es positiva, entonces el punto crítico es un mínimo. Si la segunda derivada de la función en el punto crítico es negativa, entonces el punto crítico es un máximo. Si la segunda derivada de la función en el punto crítico es cero, entonces la prueba de la segunda derivada no es concluyente y debemos utilizar otros métodos para determinar si el punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de silla.

6.2. Puntos críticos y prueba de la segunda derivada

Para encontrar los puntos críticos de una función, debemos buscar los valores de $x$ para los cuales la derivada de la función es cero o no está definida. Estos valores se denominan puntos críticos de la función. Una vez que hemos encontrado los puntos críticos, debemos determinar si son máximos, mínimos o puntos de silla.

Para determinar si un punto crítico es un máximo o un mínimo, podemos utilizar la prueba de la segunda derivada. Si la segunda derivada de la función en el punto crítico es positiva, entonces el punto crítico es un mínimo. Si la segunda derivada de la función en el punto crítico es negativa, entonces el punto crítico es un máximo. Si la segunda derivada de la función en el punto crítico es cero, entonces la prueba de la segunda derivada no es concluyente y debemos utilizar otros métodos para determinar si el punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de silla.

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Ejemplo: Supongamos que queremos encontrar los máximos y mínimos de la función $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x$. La primera derivada de la función es $f'(x) = 3x^2 – 6x + 2$. Para encontrar los puntos críticos, debemos buscar los valores de $x$ para los cuales la derivada es cero:

$$3x^2 – 6x + 2 = 0$$

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$$

Por tanto, los puntos críticos de la función son $x = \frac{3 – \sqrt{3}}{3}$ y $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$. Para determinar si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada de la función:

$$f»(x) = 6x – 6$$

Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:

$$f»\left(\frac{3 – \sqrt{3}}{3}\right) = 6\left(\frac{3 – \sqrt{3}}{3}\right) – 6 = -2\sqrt{3} < 0$$

$$f»\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) = 6\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) – 6 = 2\sqrt{3} > 0$$

Por tanto, el punto crítico $x = \frac{3 – \sqrt{3}}{3}$ es un máximo y el punto crítico $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ es un mínimo.

6.3. Problemas de optimización

Los problemas de optimización son problemas en los que debemos encontrar el valor máximo o mínimo de una función sujeta a ciertas restricciones. Para resolver estos problemas, debemos utilizar las derivadas para encontrar los puntos críticos de la función y determinar si son máximos o mínimos. Luego, debemos evaluar la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo para determinar el valor máximo o mínimo de la función.

Ejemplo: Supongamos que una empresa produce $x$ unidades de un producto al día y que el costo total de producción es $C(x) = 0,005x^3 – 0,3x^2 + 20x + 500$ dólares al día. ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para minimizar el costo total de producción?

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Para resolver este problema, debemos encontrar el valor mínimo de la función $C(x)$ en el intervalo $[0,\infty)$. La primera derivada de la función es $C'(x) = 0,015x^2 – 0,6x + 20$. Para encontrar los puntos críticos, debemos buscar los valores de $x$ para los cuales la derivada es cero:

$$0,015x^2 – 0,6x + 20 = 0$$

$$x = \frac{0,6 \pm \sqrt{0,36 – 4(0,015)(20)}}{2(0,015)} = \frac{0,6 \pm \sqrt{0,06}}{0,03} = 10 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Por tanto, los puntos críticos de la función son $x = 10 – \frac{\sqrt{6}}{3}$ y $x = 10 + \frac{\sqrt{6}}{3}$. Para determinar si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada de la función:

$$C»(x) = 0,03x – 0,6$$

Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:

$$C»\left(10 – \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 0,03\left(10 – \frac{\sqrt{6}}{3}\right) – 0,6 = -\frac{\sqrt{6}}{10} < 0$$

$$C»\left(10 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 0,03\left(10 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) – 0,6 = \frac{\sqrt{6}}{10} > 0$$

Por tanto, el punto crítico $x = 10 – \frac{\sqrt{6}}{3}$ es un máximo y el punto crítico $x = 10 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ es un mínimo. Evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:

$$C(0) = 500$$

$$C\left(10 – \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 0,005\left(10 – \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 – 0,3\left(10 – \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + 20\left(10 – \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 500 \approx 509,94$$

$$C\left(10 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 0,005\left(10 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 – 0,3\left(10 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + 20\left(10 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 500 \approx 490,06$$

Por tanto, el valor mínimo de la función $C(x)$ en el intervalo $[0,\infty)$ es $490,06$, y se alcanza cuando la empresa produce $x = 10 + \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 11,82$ unidades del producto al día.

6.4. Gráficas de funciones utilizando derivadas

Las derivadas también son útiles para analizar el comportamiento de una función y graficarla. En particular, podemos utilizar la primera derivada para determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, y la segunda derivada para determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

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Para graficar una función, debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Encontrar los puntos críticos de la función y determinar si son máximos, mínimos o puntos de silla.
  2. Encontrar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, utilizando la primera derivada.
  3. Encontrar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, utilizando la segunda derivada.
  4. Encontrar los puntos de inflexión de la función, si existen.
  5. Graficar la función, utilizando la información obtenida en los pasos anteriores.

Ejemplo: Supongamos que queremos graficar la función $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x$. La primera derivada de la función es $f'(x) = 3x^2 – 6x + 2$. Para encontrar los puntos críticos, debemos buscar los valores de $x$ para los cuales la derivada es cero:

$$3x^2 – 6x + 2 = 0$$

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$$

Por tanto, los puntos críticos de la función son $x = \frac{3 – \sqrt{3}}{3}$ y $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$. Para determinar si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada de la función:

$$f»(x) = 6x – 6$$

Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:

$$f»\left(\frac{3 – \sqrt{3}}{3}\right) = 6\left(\frac{3 – \sqrt{3}}{3}\right) – 6 = -2\sqrt{3} < 0$$

$$f»\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) = 6\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) – 6 = 2\sqrt{3} > 0$$

Por tanto, el punto crítico $x = \frac{3 – \sqrt{3}}{3}$ es un máximo y el punto crítico $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ es un mínimo. La función es creciente en el intervalo $\left(\frac{3 – \sqrt{3}}{3}, \frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right)$ y decreciente en los intervalos $(-\infty, \frac{3 – \sqrt{3}}{3})$ y $(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \infty)$. La función es cóncava hacia abajo en el intervalo $(-\infty, 1)$ y cóncava hacia arriba en el intervalo $(1, \infty)$. El punto de inflexión de la función es $x = 1$. La gráfica de la función es:

En resumen, en esta sección hemos visto cómo utilizar las derivadas para encontrar los máximos y mínimos de una función, resolver problemas de optimización, analizar el comportamiento de una función y graficarla. Las derivadas son una herramienta importante en el cálculo y tienen muchas aplicaciones en diversas áreas de la matemática y la ciencia.

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