10. Derivadas implícitas y explícitas

  1. Derivadas implícitas y explícitas

En cálculo, a menudo nos encontramos con ecuaciones que definen funciones implícitamente, es decir, la variable dependiente no está aislada en un lado de la ecuación. En estos casos, podemos utilizar derivadas implícitas para encontrar la derivada de la función. También podemos utilizar derivadas explícitas cuando la variable dependiente está aislada en un lado de la ecuación. En esta sección, veremos cómo calcular derivadas implícitas y explícitas.

10.1. Derivadas implícitas

Supongamos que tenemos una ecuación que define implícitamente una función $y = f(x)$, es decir, la ecuación no está resuelta para $y$. Para encontrar la derivada de la función, podemos derivar ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ y tratar a $y$ como una función de $x$. Por ejemplo, consideremos la ecuación:

$$x^2 + y^2 = 1$$

Para encontrar la derivada de $y$ con respecto a $x$, derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$:

$$\frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = \frac{d}{dx} (1)$$

Utilizando la regla de la cadena, obtenemos:

$$2x + 2yy’ = 0$$

Ahora, resolvemos para $y’$:

$$y’ = -\frac{x}{y}$$

Esta es la derivada implícita de $y$ con respecto a $x$.

10.2. Derivadas explícitas

Cuando la variable dependiente está aislada en un lado de la ecuación, podemos utilizar derivadas explícitas para encontrar la derivada de la función. Por ejemplo, consideremos la función:

$$y = x^2 + 3x – 2$$

Para encontrar la derivada de $y$ con respecto a $x$, simplemente derivamos la expresión con respecto a $x$:

$$y’ = 2x + 3$$

Esta es la derivada explícita de $y$ con respecto a $x$.

En resumen, en esta sección hemos visto cómo calcular derivadas implícitas y explícitas. Las derivadas implícitas se utilizan cuando la variable dependiente no está aislada en un lado de la ecuación, mientras que las derivadas explícitas se utilizan cuando la variable dependiente está aislada en un lado de la ecuación. Las derivadas implícitas y explícitas son herramientas importantes en el cálculo y tienen muchas aplicaciones en diversas áreas de la matemática y la ciencia.

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