7. Diferenciales y aplicaciones

  1. Diferenciales y aplicaciones

En el cálculo, un diferencial es una cantidad infinitesimal que representa el cambio en una variable o función. En esta sección, veremos la definición de la diferencial, su interpretación geométrica, cómo utilizar los diferenciales para aproximar funciones y calcular errores de aproximación, y algunas de sus aplicaciones.

7.1. Definición de la diferencial

Si $y = f(x)$ es una función diferenciable en un punto $x = a$, entonces el diferencial de $y$ con respecto a $x$ en el punto $x = a$ se define como:

$$dy = f'(a) dx$$

donde $dx$ es el diferencial de $x$.

El diferencial de $x$ se define como una cantidad infinitesimal, es decir, una cantidad que es menor que cualquier número positivo pero que no es cero. En la práctica, podemos pensar en $dx$ como un cambio pequeño en la variable $x$.

7.2. Interpretación geométrica de la diferencial

La interpretación geométrica de la diferencial se basa en la idea de que el diferencial de $y$ con respecto a $x$ en un punto $x = a$ representa el cambio en la función $y = f(x)$ cuando nos movemos una cantidad infinitesimal $dx$ a lo largo del eje $x$.

Si trazamos la recta tangente a la gráfica de la función $y = f(x)$ en el punto $x = a$, entonces el diferencial de $y$ con respecto a $x$ en el punto $x = a$ es igual al cambio en la altura de la recta tangente cuando nos movemos una cantidad infinitesimal $dx$ a lo largo del eje $x$.

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Esta interpretación geométrica de la diferencial es útil para entender cómo los diferenciales se relacionan con las derivadas y cómo podemos utilizar los diferenciales para aproximar funciones y calcular errores de aproximación.

7.3. Aproximaciones lineales y error de aproximación

Una de las aplicaciones más importantes de los diferenciales es la aproximación lineal de funciones. Si $y = f(x)$ es una función diferenciable en un punto $x = a$, entonces podemos aproximar la función cerca del punto $x = a$ utilizando la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $x = a$.

La ecuación de la recta tangente es:

$$y – f(a) = f'(a) (x – a)$$

Si sustituimos $x = a + dx$ en esta ecuación, obtenemos:

$$y – f(a) = f'(a) dx$$

Por tanto, el diferencial de $y$ con respecto a $x$ en el punto $x = a$ es igual al cambio en la altura de la recta tangente cuando nos movemos una cantidad infinitesimal $dx$ a lo largo del eje $x$.

Esta aproximación lineal de la función es útil cuando queremos calcular el valor de la función en un punto cercano al punto $x = a$ pero no conocemos el valor exacto de la función en ese punto. En particular, podemos utilizar la aproximación lineal para calcular el error de aproximación al utilizar la recta tangente para aproximar la función.

El error de aproximación al utilizar la recta tangente para aproximar la función $y = f(x)$ en el punto $x = a + dx$ se define como:

$$E = f(a + dx) – (f(a) + f'(a) dx)$$

Si $f(x)$ es una función diferenciable en el intervalo $[a, a + dx]$, entonces podemos utilizar el teorema del valor medio para demostrar que el error de aproximación es menor que una constante times $dx^2$. En particular, si $M$ es el valor máximo de la segunda derivada de la función en el intervalo $[a, a + dx]$, entonces:

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$$|E| \leq \frac{1}{2} M dx^2$$

Por tanto, el error de aproximación al utilizar la recta tangente para aproximar la función es pequeño cuando $dx$ es pequeño, y podemos utilizar la aproximación lineal para calcular el valor de la función en un punto cercano al punto $x = a$ con un error de aproximación pequeño.

7.4. Aplicaciones de los diferenciales

Los diferenciales tienen muchas aplicaciones en el cálculo y en otras áreas de la matemática y la ciencia. Algunas de estas aplicaciones incluyen:

  • En cálculo, los diferenciales se utilizan para definir la integral definida, que es una herramienta importante para calcular áreas, volúmenes y otros tipos de cantidades acumulativas.
  • En física, los diferenciales se utilizan para definir la derivada parcial y la integral múltiple, que son herramientas importantes para estudiar el comportamiento de sistemas físicos complejos.
  • En economía, los diferenciales se utilizan para definir la elasticidad de la demanda y la oferta, que miden la sensibilidad de los precios y las cantidades a cambios en otros factores económicos.
  • En ingeniería, los diferenciales se utilizan para definir la derivada direccional y la integral de superficie, que son herramientas importantes para estudiar el comportamiento de sistemas mecánicos y electrónicos complejos.

En resumen, en esta sección hemos visto la definición de la diferencial, su interpretación geométrica, cómo utilizar los diferenciales para aproximar funciones y calcular errores de aproximación, y algunas de sus aplicaciones. Los diferenciales son una herramienta importante en el cálculo y tienen muchas aplicaciones en diversas áreas de la matemática y la ciencia.

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