11. Métodos numéricos para derivadas

  1. Métodos numéricos para derivadas

En algunas situaciones, no es posible encontrar una expresión analítica para la derivada de una función. En estos casos, podemos utilizar métodos numéricos para aproximar la derivada. En esta sección, veremos dos métodos numéricos comunes para aproximar derivadas: diferencias finitas y métodos de aproximación numérica.

11.1. Diferencias finitas

El método de diferencias finitas es un método numérico para aproximar la derivada de una función utilizando valores cercanos de la función. Supongamos que queremos aproximar la derivada de una función $f(x)$ en un punto $x = a$. Podemos aproximar la derivada utilizando la fórmula:

$$f'(a) \approx \frac{f(a + h) – f(a)}{h}$$

donde $h$ es un valor pequeño y positivo. Esta es la aproximación de la derivada por la derecha. De manera similar, podemos aproximar la derivada por la izquierda utilizando la fórmula:

$$f'(a) \approx \frac{f(a) – f(a – h)}{h}$$

También podemos utilizar la aproximación central, que es la media de las aproximaciones por la derecha y por la izquierda:

$$f'(a) \approx \frac{f(a + h) – f(a – h)}{2h}$$

Cuanto menor sea el valor de $h$, mejor será la aproximación de la derivada. Sin embargo, si $h$ es demasiado pequeño, podemos tener problemas de redondeo y cancelación en el cálculo.

11.2. Métodos de aproximación numérica

Los métodos de aproximación numérica son técnicas más avanzadas para aproximar derivadas. Estos métodos utilizan algoritmos iterativos para encontrar valores aproximados de la derivada con una precisión especificada. Algunos ejemplos de métodos de aproximación numérica son el método de Newton-Raphson, el método de la secante y el método de bisección.

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El método de Newton-Raphson es un algoritmo iterativo que utiliza la derivada de la función para encontrar raíces de la función. Podemos utilizar este método para aproximar la derivada de una función utilizando la fórmula:

$$f'(a) \approx \frac{f(a + h) – f(a)}{h} – \frac{h}{2} f»(a)$$

donde $f»(a)$ es la segunda derivada de la función en el punto $a$. Este método requiere una expresión analítica para la segunda derivada de la función.

El método de la secante es similar al método de Newton-Raphson, pero no requiere una expresión analítica para la derivada de la función. En su lugar, utiliza dos puntos cercanos en la curva para aproximar la derivada. La fórmula para el método de la secante es:

$$f'(a) \approx \frac{f(a + h) – f(a)}{h} – \frac{h}{2} \frac{f(a + h) – f(a – h)}{2h}$$

El método de bisección es un algoritmo iterativo que divide el intervalo en dos partes iguales y selecciona la subintervalo que contiene la raíz. Podemos utilizar este método para aproximar la derivada de una función utilizando la fórmula:

$$f'(a) \approx \frac{f(a + h) – f(a)}{h}$$

donde $h$ es la mitad del ancho del intervalo actual.

En resumen, en esta sección hemos visto dos métodos numéricos comunes para aproximar derivadas: diferencias finitas y métodos de aproximación numérica. Las diferencias finitas utilizan valores cercanos de la función para aproximar la derivada, mientras que los métodos de aproximación numérica utilizan algoritmos iterativos para encontrar valores aproximados de la derivada con una precisión especificada. Estos métodos son útiles cuando no es posible encontrar una expresión analítica para la derivada de una función.

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