- Derivadas parciales
En cálculo, las derivadas parciales son una extensión del concepto de derivada a funciones de varias variables. Las derivadas parciales nos permiten estudiar cómo cambia una función con respecto a cada una de sus variables independientes. En esta sección, veremos la definición de derivadas parciales, cómo calcularlas, algunas reglas de derivación parcial y algunas aplicaciones.
9.1. Definición de derivadas parciales
Supongamos que tenemos una función $f(x,y)$ de dos variables independientes $x$ e $y$. La derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ se define como:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) – f(x,y)}{\Delta x}$$
La derivada parcial de $f$ con respecto a $y$ se define de manera similar:
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) – f(x,y)}{\Delta y}$$
Las derivadas parciales se pueden interpretar geométricamente como las pendientes de las curvas de nivel de la función en la dirección de cada una de las variables independientes.
9.2. Cálculo de derivadas parciales de funciones de varias variables
Para calcular las derivadas parciales de una función de varias variables, debemos tratar a todas las variables independientes excepto una como constantes y calcular la derivada con respecto a la variable restante. Por ejemplo, para calcular la derivada parcial de $f(x,y) = x^2y + 3x – 2y^2$ con respecto a $x$, tratamos a $y$ como una constante y calculamos la derivada con respecto a $x$:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2y + 3x – 2y^2) = 2xy + 3$$
De manera similar, para calcular la derivada parcial de $f$ con respecto a $y$, tratamos a $x$ como una constante y calculamos la derivada con respecto a $y$:
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y + 3x – 2y^2) = x^2 – 4y$$
9.3. Reglas de derivación parcial
Las reglas de derivación parcial son similares a las reglas de derivación ordinarias, pero se aplican a funciones de varias variables. A continuación, se presentan algunas reglas de derivación parcial:
- Regla de la suma: $\frac{\partial}{\partial x} (f + g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x}$
- Regla del producto: $\frac{\partial}{\partial x} (fg) = f \frac{\partial g}{\partial x} + g \frac{\partial f}{\partial x}$
- Regla de la cadena: $\frac{\partial}{\partial x} (f \circ g) = \frac{\partial f}{\partial g} \frac{\partial g}{\partial x}$
9.4. Aplicaciones de las derivadas parciales
Las derivadas parciales tienen muchas aplicaciones en diversas áreas de la matemática y la ciencia. A continuación, se presentan algunas aplicaciones:
- Optimización: Las derivadas parciales se pueden utilizar para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables.
- Ecuaciones diferenciales parciales: Las derivadas parciales son fundamentales en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales, que son ecuaciones que relacionan una función desconocida con sus derivadas parciales.
- Geometría diferencial: Las derivadas parciales se utilizan en geometría diferencial para estudiar la curvatura y otras propiedades de superficies y variedades.
- Física: Las derivadas parciales se utilizan en física para describir la variación de cantidades físicas como la temperatura, la presión y el campo eléctrico en función de las coordenadas espaciales y temporales.
En resumen, en esta sección hemos visto cómo extender el concepto de derivada a funciones de varias variables. Las derivadas parciales nos permiten estudiar cómo cambia una función con respecto a cada una de sus variables independientes. Las reglas de derivación parcial son similares a las reglas de derivación ordinarias, pero se aplican a funciones de varias variables. Las derivadas parciales tienen muchas aplicaciones en diversas áreas de la matemática y la ciencia.