8. Tasa de cambio relacionada

  1. Tasa de cambio relacionada

En cálculo, la tasa de cambio relacionada es un concepto importante que nos permite relacionar la tasa de cambio de dos cantidades que están relacionadas entre sí. En esta sección, veremos la definición de la tasa de cambio instantánea, la tasa de cambio relacionada y cómo resolver problemas prácticos de tasa de cambio relacionada.

8.1. Tasa de cambio instantánea

La tasa de cambio instantánea de una función $f(x)$ en un punto $x = a$ se define como la derivada de la función en ese punto:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) – f(a)}{h}$$

La tasa de cambio instantánea nos dice cómo está cambiando la función en un punto específico. Geométricamente, la tasa de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $(a, f(a))$.

8.2. Tasa de cambio relacionada

La tasa de cambio relacionada es un concepto que nos permite relacionar la tasa de cambio de dos cantidades que están relacionadas entre sí. Supongamos que tenemos dos cantidades $x$ e $y$ que están relacionadas por una ecuación $y = f(x)$. Si conocemos la tasa de cambio de $x$ con respecto al tiempo, podemos encontrar la tasa de cambio de $y$ con respecto al tiempo utilizando la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$$

donde $\frac{dy}{dt}$ es la tasa de cambio de $y$ con respecto al tiempo, $\frac{dy}{dx}$ es la derivada de $y$ con respecto a $x$ y $\frac{dx}{dt}$ es la tasa de cambio de $x$ con respecto al tiempo.

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8.3. Problemas prácticos de tasa de cambio relacionada

La tasa de cambio relacionada es útil para resolver problemas prácticos en los que se relacionan dos cantidades. A continuación, se presentan algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Un globo esférico se está inflando de tal manera que su radio aumenta a una tasa constante de 2 cm/s. ¿Cuál es la tasa de cambio del volumen del globo cuando el radio es de 10 cm?

Solución: El volumen $V$ de un globo esférico está relacionado con su radio $r$ por la ecuación $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. Si el radio aumenta a una tasa constante de 2 cm/s, entonces $\frac{dr}{dt} = 2$. Para encontrar la tasa de cambio del volumen cuando el radio es de 10 cm, debemos utilizar la regla de la cadena:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$$

La derivada de $V$ con respecto a $r$ es $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$. Evaluamos esta derivada en $r = 10$ y obtenemos $\frac{dV}{dr} = 4 \pi (10)^2 = 400 \pi$. La tasa de cambio del radio es $\frac{dr}{dt} = 2$. Por lo tanto, la tasa de cambio del volumen cuando el radio es de 10 cm es:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = 400 \pi \cdot 2 = 800 \pi \approx 2513.27 \text{ cm}^3/\text{s}$$

Ejemplo 2: Un automóvil se está moviendo a lo largo de una carretera recta a una velocidad constante de 60 km/h. El automóvil pasa por un poste de luz que está a una distancia de 20 metros de la carretera. ¿Cuál es la tasa de cambio del ángulo que forma el automóvil con el poste de luz cuando el automóvil está a 50 metros del poste?

Solución: El ángulo $\theta$ que forma el automóvil con el poste de luz está relacionado con la distancia $x$ del automóvil al poste por la ecuación $\tan(\theta) = \frac{20}{x}$. Si el automóvil se está moviendo a una velocidad constante de 60 km/h, entonces $\frac{dx}{dt} = 60 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{50}{3}$ (ya que 1 km/h es igual a $\frac{1000}{3600}$ m/s). Para encontrar la tasa de cambio del ángulo cuando el automóvil está a 50 metros del poste, debemos utilizar la regla de la cadena:

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$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{d\theta}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$$

La derivada de $\theta$ con respecto a $x$ es $\frac{d\theta}{dx} = -\frac{20}{x^2 \cos^2(\theta)}$. Evaluamos esta derivada en $x = 50$ y obtenemos $\frac{d\theta}{dx} = -\frac{20}{50^2 \cos^2(\theta)} = -\frac{2}{125 \cos^2(\theta)}$. La tasa de cambio de la distancia es $\frac{dx}{dt} = \frac{50}{3}$. Por lo tanto, la tasa de cambio del ángulo cuando el automóvil está a 50 metros del poste es:

$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{d\theta}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = -\frac{2}{125 \cos^2(\theta)} \cdot \frac{50}{3} \approx -0.0251 \text{ rad/s}$$

En resumen, en esta sección hemos visto cómo relacionar la tasa de cambio de dos cantidades utilizando la regla de la cadena. La tasa de cambio relacionada es útil para resolver problemas prácticos en los que se relacionan dos cantidades. Al utilizar la regla de la cadena, podemos encontrar la tasa de cambio de una cantidad con respecto al tiempo en función de la tasa de cambio de otra cantidad con respecto al tiempo.

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