En ingeniería de control, una función de transferencia es una representación matemática que describe la relación entre la entrada y la salida de un sistema dinámico, en términos de sus variables de Laplace (generalmente usando la transformada de Laplace). Esta función se usa principalmente para sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI, por sus siglas en inglés: Linear Time-Invariant).
Definición formal:
La función de transferencia se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida del sistema ($Y(s)$) y la transformada de Laplace de la entrada ($U(s)$), bajo la condición de que las condiciones iniciales sean cero:
$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$$
Donde:
- $G(s)$ es la función de transferencia del sistema.
- $s$ es la variable compleja de Laplace, que incluye información sobre la frecuencia y el comportamiento dinámico del sistema.
- $Y(s)$ es la salida del sistema en el dominio de Laplace.
- $U(s)$ es la entrada del sistema en el dominio de Laplace.
Propósito y usos:
- Análisis del comportamiento dinámico: La función de transferencia permite analizar cómo un sistema responde a diferentes entradas, por ejemplo, cómo varía la salida cuando se aplica una entrada escalón, impulso o senoidal.
- Diseño de controladores: A partir de la función de transferencia, se pueden diseñar controladores (como PID, controladores en espacio de estados, etc.) que modifiquen el comportamiento del sistema para que cumpla con ciertos requisitos (por ejemplo, estabilidad, respuesta en frecuencia, etc.).
- Simplificación de modelos complejos: Permite representar de manera compacta sistemas complejos y facilita el análisis de su estabilidad y respuesta a perturbaciones.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos un sistema de segundo orden, como un resorte-masa-amortiguador. La función de transferencia de este sistema podría ser algo como:
$$G(s)=\frac{K}{Ms^2+Bs+K}$$
Donde:
- $M$ es la masa,
- $B$ es el coeficiente de amortiguamiento,
- $K$ es la constante de rigidez del resorte.
Características importantes:
- Polos y ceros: Los polos y ceros de la función de transferencia determinan la estabilidad y el comportamiento dinámico del sistema. Los polos están relacionados con los valores de ss para los cuales la función de transferencia tiende a infinito, y los ceros son los valores de ss para los cuales la función de transferencia se hace cero.
- Estabilidad: La estabilidad de un sistema está relacionada con la ubicación de los polos en el plano complejo ss. Si todos los polos tienen parte real negativa, el sistema es estable.
¿De donde sale la función de transferencia?
La función de transferencia de un sistema dinámico se obtiene a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema, mediante el uso de la transformada de Laplace. Aquí te explico cómo se obtiene:
1. Ecuaciones diferenciales del sistema:
Para obtener una función de transferencia, primero necesitas tener un modelo matemático del sistema que generalmente se expresa en forma de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones describen cómo las variables de entrada y salida del sistema se relacionan en el tiempo.
Por ejemplo, para un sistema masa-resorte-amortiguador, las ecuaciones de movimiento de la masa (en función de la posición $x(t)$) pueden ser algo como:
$$M\ddot{x}(t)+B\dot{x}(t)+Kx(t)=F(t)$$
Donde:
- $M$ es la masa,
- $B$ es el coeficiente de amortiguamiento,
- $K$ es la constante del resorte,
- $F(t)$ es la fuerza aplicada (la entrada),
- $x(t)$ es la posición de la masa (la salida).
2. Transformada de Laplace:
La idea es transformar las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo (tt) al dominio de la frecuencia compleja (ss) utilizando la transformada de Laplace.
La transformada de Laplace convierte las derivadas en términos de $s$ (la variable compleja), lo que simplifica las ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas. Aquí están las transformadas básicas:
- $\mathcal{L}\{ \dot{x}(t) \} = s X(s) – x(0)$
- $\mathcal{L}\{ \ddot{x}(t) \} = s^2 X(s) – s x(0) – \dot{x}(0)$
Al aplicar la transformada de Laplace a la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte-amortiguador, se obtiene: $M(s^2X(s) – sx(0) – \dot{x}(0)) + B(sX(s) – x(0)) + KX(s) = F(s)$
3. Suponer condiciones iniciales nulas:
Para simplificar, normalmente se supone que las condiciones iniciales son cero, es decir, $x(0) = 0$ y $\dot{x}(0) = 0$. Esto elimina los términos iniciales de la ecuación. Entonces, la ecuación se reduce a: $$Ms^2X(s) + BsX(s) + KX(s) = F(s)$$
4. Reordenar la ecuación:
Ahora, podemos factorizar $X(s)$ y obtener la relación entre la salida $X(s)$ y la entrada $F(s)$: $$X(s)\left(Ms^2 + Bs + K\right) = F(s)$$
De aquí, despejamos $X(s)/F(s)$, lo cual es la función de transferencia $G(s)$:
$$G(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{Ms^2 + Bs + K}$$
Esta es la función de transferencia de un sistema masa-resorte-amortiguador.
5. Interpretación de la función de transferencia:
La función de transferencia $G(s) = \frac{1}{Ms^2 + Bs + K}$ describe cómo la salida $x(t)$ responde a la entrada $F(t)$ en el dominio de Laplace. Dependiendo de la naturaleza del sistema (por ejemplo, si es un sistema de primer, segundo orden, etc.), esta función de transferencia puede ser más o menos compleja, pero siempre sigue el mismo principio básico.
Resumen de los pasos:
- Obtener el modelo físico del sistema en forma de ecuaciones diferenciales.
- Aplicar la transformada de Laplace para convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
- Simplificar las ecuaciones, asumiendo que las condiciones iniciales son cero.
- Despejar la relación entre la salida y la entrada en el dominio de Laplace, lo que nos da la función de transferencia.
Relación con el comportamiento físico:
La función de transferencia no depende del tiempo explícitamente, sino que captura las propiedades dinámicas del sistema (como la masa, el amortiguamiento, y la rigidez en el caso del ejemplo anterior) en el dominio de frecuencia. Es útil para analizar el sistema sin tener que resolver ecuaciones diferenciales complicadas directamente.
Tutorial básico sobre cómo aplicar la transformada de Laplace
Aquí tienes un tutorial básico sobre cómo aplicar la transformada de Laplace. Vamos paso a paso para que puedas entender cómo se utiliza en la resolución de ecuaciones diferenciales, especialmente en el contexto de sistemas dinámicos.
1. ¿Qué es la transformada de Laplace?
La transformada de Laplace es una herramienta matemática que convierte funciones en el dominio del tiempo $t$ en funciones en el dominio complejo $s$, lo que facilita la solución de ecuaciones diferenciales. Es ampliamente utilizada en ingeniería, control, y física.
La transformada de Laplace de una función $f(t)$ se define como:
$$ \mathcal{L}{ f(t) } = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) , dt $$
Donde:
- $s$ es una variable compleja ($s = \sigma + j\omega$, donde $\sigma$ es la parte real y $\omega$ la parte imaginaria),
- $f(t)$ es la función en el dominio del tiempo,
- $F(s)$ es la función transformada en el dominio $s$.
2. Propiedades básicas de la transformada de Laplace
Existen varias propiedades que facilitan el uso de la transformada de Laplace, aquí te menciono las más útiles:
- Linealidad: $$ \mathcal{L}{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s) $$ Esto significa que puedes aplicar la transformada de Laplace de cada término por separado.
- Transformada de la derivada: Si $f(t)$ tiene una derivada $f'(t)$, su transformada es: $$ \mathcal{L}{ f'(t) } = s F(s) – f(0) $$ Para una segunda derivada $f»(t)$, la transformada es: $$ \mathcal{L}{ f»(t) } = s^2 F(s) – s f(0) – f'(0) $$
- Desplazamiento temporal: Si la función está desplazada en el tiempo, es decir, $f(t-a)u(t-a)$, donde $u(t-a)$ es la función escalón unitario: $$ \mathcal{L}{ f(t-a)u(t-a) } = e^{-as} F(s) $$
- Transformada de la función escalón unitario: $$ \mathcal{L}{ u(t) } = \frac{1}{s} $$ donde $u(t)$ es la función escalón (que vale 0 para $t < 0$ y 1 para $t \geq 0$).
3. Transformadas de funciones comunes
Aquí te dejo algunas transformadas comunes que te ayudarán a realizar la transformada de Laplace con rapidez:
- Constante: $$ \mathcal{L}{ 1 } = \frac{1}{s} $$
- Función lineal: $$ \mathcal{L}{ t } = \frac{1}{s^2} $$
- Función exponencial: $$ \mathcal{L}{ e^{at} } = \frac{1}{s – a} $$ donde $a$ es una constante.
- Seno: $$ \mathcal{L}{ \sin(at) } = \frac{a}{s^2 + a^2} $$
- Coseno: $$ \mathcal{L}{ \cos(at) } = \frac{s}{s^2 + a^2} $$
4. Pasos para aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial
Supongamos que tenemos una ecuación diferencial, por ejemplo:
$$ \frac{d^2x(t)}{dt^2} + 4\frac{dx(t)}{dt} + 5x(t) = 0 $$
Paso 1: Aplica la transformada de Laplace a cada término
Primero, aplica la transformada de Laplace a cada término de la ecuación. Usamos las propiedades de la transformada de Laplace para las derivadas:
- La transformada de la segunda derivada de $x(t)$ es $s^2 X(s) – s x(0) – \dot{x}(0)$,
- La transformada de la primera derivada de $x(t)$ es $s X(s) – x(0)$,
- La transformada de $x(t)$ es $X(s)$.
Por lo tanto, aplicamos la transformada de Laplace:
$$\mathcal{L}\left\{ \frac{d^2x(t)}{dt^2} \right\} + 4 \mathcal{L}\left\{ \frac{dx(t)}{dt} \right\} + 5 \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\} = \mathcal{L}\{ 0 \}$$
Esto da como resultado:
$$ (s^2 X(s) – s x(0) – \dot{x}(0)) + 4(s X(s) – x(0)) + 5 X(s) = 0 $$
Paso 2: Simplifica la ecuación algebraica en $s$
Reagrupamos los términos con $X(s)$:
$$ (s^2 + 4s + 5) X(s) – (s x(0) + \dot{x}(0) + 4x(0)) = 0 $$
Paso 3: Despeja $X(s)$
Si las condiciones iniciales son $x(0) = 0$ y $\dot{x}(0) = 0$, la ecuación se simplifica a:
$$ (s^2 + 4s + 5) X(s) = 0 $$
Por lo tanto, la función de transferencia es:
$$ X(s) = \frac{0}{s^2 + 4s + 5} $$
Nota: En la práctica, si no tenemos condiciones iniciales nulas, las condiciones iniciales deben ser reemplazadas en la ecuación, lo que modificará la solución final de la transformada de Laplace.
Paso 4: Inversa de la transformada de Laplace (opcional)
Una vez que tienes la expresión $X(s)$ en términos de $s$, puedes encontrar la solución en el dominio del tiempo usando la transformada inversa de Laplace. Sin embargo, para ecuaciones simples, puedes usar tablas de transformadas o software como MATLAB o Python para calcular la inversa.
5. Ejemplo completo
Supongamos que tienes la ecuación:
$$ \frac{d^2y(t)}{dt^2} + 6 \frac{dy(t)}{dt} + 9 y(t) = 0 $$
Y las condiciones iniciales son $y(0) = 1$ y $\dot{y}(0) = 0$.
Paso 1: Aplica la transformada de Laplace a la ecuación
$$ (s^2 Y(s) – s y(0) – \dot{y}(0)) + 6 (s Y(s) – y(0)) + 9 Y(s) = 0 $$ Sustituyendo las condiciones iniciales $y(0) = 1$ y $\dot{y}(0) = 0$:
$$ (s^2 Y(s) – s) + 6 (s Y(s) – 1) + 9 Y(s) = 0 $$
Paso 2: Simplifica
$$ (s^2 + 6s + 9) Y(s) – s – 6 = 0 $$ $$ Y(s) = \frac{s + 6}{s^2 + 6s + 9} $$
Paso 3: Factoriza y realiza la inversa de la transformada de Laplace
Observamos que el denominador es un trinomio cuadrado perfecto:
$$ Y(s) = \frac{s + 6}{(s + 3)^2} $$
Esta es una fracción racional que se puede simplificar usando tablas de transformadas o técnicas de fracciones parciales. La inversa de Laplace de $Y(s)$ nos da la solución $y(t)$.
Conclusión:
Este es un tutorial básico para aplicar la transformada de Laplace. Con práctica y comprensión de las tablas de transformadas, puedes resolver una gran variedad de ecuaciones diferenciales en ingeniería de control y otras disciplinas.
Ahora ¿Qué hacemos con esa función de transferencia?
Una vez que has obtenido la función de transferencia de un sistema, como en el caso de la ecuación que hemos trabajado, el siguiente paso es utilizar esa función de transferencia para analizar y diseñar el comportamiento del sistema. Aquí te explico las principales acciones que puedes realizar con la función de transferencia obtenida:
1. Análisis de estabilidad
La estabilidad del sistema depende de la ubicación de los polos de la función de transferencia. Los polos son los valores de $s$ que hacen que el denominador de la función de transferencia sea cero.
- Si todos los polos tienen parte real negativa, el sistema es estable (todas las soluciones de la ecuación diferencial decaen con el tiempo).
- Si algún polo tiene parte real positiva, el sistema es inestable (las soluciones crecerán exponencialmente).
- Si los polos están en el eje imaginario ($s = j\omega$), el sistema es marginalmente estable (las soluciones oscilan indefinidamente).
Ejemplo: En una función de transferencia como: $G(s) = \frac{1}{s^2 + 6s + 9}$
El denominador es un trinomio cuadrado perfecto, $(s + 3)^2$, lo que indica que ambos polos están en $s = -3$, lo que significa que el sistema es estable.
2. Análisis de la respuesta del sistema
La función de transferencia te permite analizar cómo el sistema responde a diferentes entradas. Puedes calcular la respuesta en el dominio de Laplace y, mediante la transformada inversa de Laplace, obtener la respuesta en el dominio del tiempo.
Por ejemplo, si aplicas una entrada escalón unitario $u(t)$ (que tiene una transformada de Laplace $\frac{1}{s}$), puedes multiplicar la función de transferencia $G(s)$ por $\frac{1}{s}$ y luego hacer la transformada inversa para encontrar la salida $x(t)$.
3. Diseño de controladores
Si el sistema no tiene el comportamiento deseado, puedes modificar la función de transferencia mediante el diseño de controladores. Los controladores pueden ser:
- PID (Proporcional, Integral, Derivativo): Modifican la función de transferencia para mejorar la respuesta del sistema, como reducir el sobreimpulso o mejorar la estabilidad.
- Controladores en el espacio de estados: Permiten ajustar la dinámica del sistema en un espacio más amplio de variables.
Por ejemplo, si quieres que el sistema tenga una respuesta más rápida, podrías agregar un término derivativo o integral a tu controlador.
4. Análisis de la respuesta en frecuencia
Con la función de transferencia, puedes calcular la respuesta en frecuencia de un sistema. Esto implica evaluar la función de transferencia en el eje imaginario $s = j\omega$ (donde $\omega$ es la frecuencia).
La función de transferencia evaluada en $s = j\omega$ te da la relación entre la amplitud y la fase de la salida frente a una entrada senoidal. Esto es útil, por ejemplo, para analizar cómo el sistema responde a diferentes frecuencias, lo cual es fundamental en la teoría de control en frecuencia (como en el diseño de filtros o controladores de frecuencia).
5. Determinar la respuesta al impulso o al escalón
La respuesta del sistema a señales estándar como un impulso o un escalón se puede obtener directamente de la función de transferencia:
- La respuesta al impulso de un sistema es simplemente la transformada inversa de la función de transferencia $G(s)$, ya que un impulso tiene una transformada de Laplace de 1.
- La respuesta al escalón se obtiene multiplicando la función de transferencia por $\frac{1}{s}$ y luego aplicando la transformada inversa.
6. Determinar el comportamiento transitorio y estacionario
Puedes obtener información sobre el comportamiento transitorio del sistema (cómo responde al principio, antes de estabilizarse) y el comportamiento estacionario (una vez que se ha estabilizado).
Por ejemplo:
- El tiempo de asentamiento, el tiempo de subida y el sobreimpulso del sistema se pueden analizar a partir de la respuesta transitoria.
- El valor final (cuando el sistema ha alcanzado su valor estacionario) se puede encontrar usando el teorema del valor final de la transformada de Laplace.
Teorema del valor final: $$\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} s G(s)$$
7. Diseño de filtros
Si estás trabajando con señales y necesitas filtrar ciertas frecuencias, puedes diseñar un filtro basado en la función de transferencia, seleccionando los polos y ceros adecuados para lograr el comportamiento deseado (por ejemplo, un filtro pasa bajas, pasa altas, etc.).
Resumen de lo que se hace con la función de transferencia:
- Análisis de estabilidad (ubicación de los polos),
- Análisis de la respuesta del sistema (entrada vs salida),
- Diseño de controladores (como PID o en espacio de estados),
- Análisis de la respuesta en frecuencia (observar cómo responde a diferentes frecuencias),
- Cálculo de la respuesta a señales estándar (impulso, escalón),
- Determinación del comportamiento transitorio y estacionario,
- Diseño de filtros.
Ejemplo práctico de uso:
En el caso de la función de transferencia que obtuvimos: $G(s) = \frac{1}{s^2 + 6s + 9}$
Podrías hacer lo siguiente:
- Calcular los polos: Los polos son las soluciones de $s^2 + 6s + 9 = 0$, que dan $s = -3$ (polo doble).
- Analizar la estabilidad: Como los polos están en $s = -3$, el sistema es estable.
- Calcular la respuesta a un escalón: Multiplicas la función de transferencia por $\frac{1}{s}$, obteniendo la respuesta en $s$ y luego aplicas la transformada inversa para obtener la respuesta en el tiempo.
y si aplicamos la inversa de Laplace?
¿Aplicando la transformada inversa para obtener la respuesta en el tiempo. regreso a la ecuación diferencial del principio del ejercicio?
¡Buena pregunta! Sí, aplicando la transformada inversa de Laplace a la función de transferencia obtenida, en teoría podrías regresar a la ecuación diferencial original, pero de manera indirecta. Aquí te explico cómo funciona el proceso, paso a paso, para que veas el camino completo.
Paso 1: Recapitulación de la Función de Transferencia
Supongamos que ya tienes la función de transferencia de un sistema a partir de la ecuación diferencial original. En el caso que hemos trabajado previamente: $G(s) = \frac{1}{s^2 + 6s + 9}$
Este es el sistema que describe la relación entre la entrada y la salida en el dominio de Laplace.
Paso 2: Aplicar la Transformada Inversa
El objetivo de la transformada inversa es regresar del dominio de Laplace (frecuencia) al dominio del tiempo, lo que te da la respuesta temporal del sistema ante una entrada dada.
Para hacerlo, puedes seguir estos pasos:
2.1 Respuesta a un Escalón Unitario
Si la entrada es un escalón unitario $u(t)$, la transformada de Laplace de un escalón unitario es: $U(s) = \frac{1}{s}$
La salida en el dominio de Laplace $Y(s)$ se obtiene multiplicando la función de transferencia $G(s)$ por la entrada $U(s)$: $Y(s) = G(s) \cdot U(s) = \frac{1}{s^2 + 6s + 9} \cdot \frac{1}{s}$
Esto simplifica a: $Y(s) = \frac{1}{s (s^2 + 6s + 9)}$
2.2 Factorizar el denominador
Ahora, factoriza el denominador $s^2 + 6s + 9$. Observamos que: $s^2 + 6s + 9 = (s + 3)^2$
Por lo tanto, la expresión para $Y(s)$ se convierte en: $Y(s) = \frac{1}{s (s + 3)^2}$
2.3 Descomposición en fracciones parciales
Para aplicar la transformada inversa, debemos descomponer la fracción racional en fracciones parciales. El objetivo es expresarlo en una forma más sencilla que corresponda a una transformada de Laplace conocida. $\frac{1}{s (s + 3)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 3} + \frac{C}{(s + 3)^2}$
Para encontrar los coeficientes A, B, y C, resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $s(s + 3)^2$ y luego igualamos los coeficientes.
Al hacerlo, encontramos:
- A = 0
- B = 1
- C = -1
Por lo tanto: $Y(s) = \frac{1}{s + 3} – \frac{1}{(s + 3)^2}$
2.4 Transformada Inversa
Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace a cada término:
- ${L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s + 3} \right\} = e^{-3t}$
- ${L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s + 3)^2} \right\} = t e^{-3t}$
Por lo tanto, la respuesta en el tiempo $y(t)$ es: $y(t) = e^{-3t} – t e^{-3t}$
Paso 3: Regresar a la Ecuación Diferencial Original
La ecuación diferencial original era: $\frac{d^2x(t)}{dt^2} + 6 \frac{dx(t)}{dt} + 9 x(t) = 0$
El proceso de obtener la función de transferencia y luego aplicar la transformada inversa de Laplace no te devuelve directamente a la ecuación diferencial en su forma original, pero te da la solución en el tiempo para una entrada dada.
- En este caso, la entrada fue un escalón unitario.
- La salida es la respuesta temporal $y(t)$, que muestra cómo el sistema reacciona con el paso del tiempo.
Por lo tanto, el proceso de la transformada de Laplace y su inversa nos permite encontrar la respuesta del sistema sin tener que resolver directamente la ecuación diferencial, pero no regresas a la ecuación diferencial original per se. Sin embargo, puedes deducir la forma general de la solución del sistema desde la función de transferencia.
¿Qué significa todo esto en términos prácticos?
- Función de transferencia: Te da la relación entre la entrada y la salida en el dominio de Laplace.
- Transformada inversa: Te permite obtener la respuesta temporal $y(t)$, es decir, cómo el sistema responde en el tiempo a una entrada, sin tener que resolver la ecuación diferencial de forma directa.
- Ecuación diferencial: Es la modelo matemático que describe el sistema. Aunque no regreses directamente a ella con la transformada inversa, puedes ver cómo la respuesta en el tiempo corresponde a las soluciones de dicha ecuación.
Resumen de los pasos:
- Obtienes la función de transferencia $G(s)$.
- Multiplicas por la transformada de Laplace de la entrada.
- Descompones y simplificas para obtener la forma más sencilla de $Y(s)$.
- Aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta temporal $y(t)$.