Los límites de funciones satisfacen ciertas propiedades que nos permiten calcular límites de funciones más complejas en términos de límites de funciones más simples. Estas propiedades son fundamentales en el cálculo y nos ayudan a simplificar el proceso de encontrar límites.
1. Límites de una constante $c$, cuando $x$ tiende hacia $a$
Para cualquier constante $c$, el límite de $c$ cuando $x$ tiende hacia $a$ es simplemente la constante misma:
$$\lim_{x\to a}c=c$$
Ejemplo: $\lim_{x\to 2}5=5$
2. Límites de una variable $x$, cuando $x$ tiende hacia $a$
El límite de la variable $x$ cuando $x$ tiende hacia $a$ es simplemente el valor al que se acerca $x$, que en este caso es $a$:
$$\lim_{x\to a}x=a$$
Ejemplo: $\lim_{x\to 3}x=3$
3. Límite de $x$ a la $n$, cuando $x$ tiende hacia $a$
Para cualquier número natural $n$ y cualquier constante $a$, el límite de $x$ a la $n$ cuando $x$ tiende hacia $a$ es $a$ elevado a la $n$:
$$\lim_{x\to a}x^n=a^n$$
Ejemplo: $\lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$
4. Límite de la raíz $n$ de $x$, cuando $x$ tiende hacia $a$
Para cualquier número natural $n$ y cualquier constante $a$, el límite de la raíz $n$ de $x$ cuando $x$ tiende hacia $a$ es la raíz $n$ de $a$:
$$\lim_{x\to a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}$$
Ejemplo: $\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=\sqrt{4}=2$
Estas propiedades son fundamentales para comprender cómo los límites se comportan en diferentes situaciones, desde constantes simples hasta funciones más complejas. Los ejemplos ilustran cómo aplicar las propiedades de los límites en situaciones simples para encontrar los valores límite en cada caso.
5. Propiedad del factor constante
Si $c$ es una constante y $f(x)$ es una función, entonces:
$$\lim_{x\to a}(c\cdot f(x))=c\cdot\lim_{x\to a}f(x)$$
Esta propiedad nos dice que el límite de una función multiplicada por una constante es igual a la constante multiplicada por el límite de la función original.
Ejemplo:
$\lim_{x\to 3}(2x^2)=2\cdot\lim_{x\to 3}x^2$ $ = 2\cdot 3^2 = 2\cdot 9 = 18$
Operaciones
6. Propiedad de la suma de límites
La propiedad de la suma de límites establece que el límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites individuales de esas funciones. Matemáticamente, si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones y $L_1$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$, y $L_2$ es el límite de $g(x)$ cuando $x$ tiende a $a$, entonces:
$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))$ $=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$ $=L_1+L_2$
Esta propiedad es útil para simplificar la evaluación de límites de funciones que consisten en la suma de varias funciones más simples.
Ejemplo: Considera las funciones $f(x)=2x$ y $g(x)=x^2$. Queremos encontrar el límite de $f(x)+g(x)$ cuando $x$ tiende a 2.
Primero, encontramos los límites individuales:
$$\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}2x=2\cdot 2=4$$
$$\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}x^2=2^2=4$$
Luego, aplicamos la propiedad de la suma de límites:
$\lim_{x\to 2}(f(x)+g(x))$ $=\lim_{x\to 2}f(x)+\lim_{x\to 2}g(x)$ $=4+4=8$
Por lo tanto, el límite de $f(x)+g(x)$ cuando $x$ tiende a 2 es 8.
7. Propiedad de la resta de límites
La propiedad de la resta de límites establece que el límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites individuales de esas funciones. Matemáticamente, si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones y $L_1$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$, y $L_2$ es el límite de $g(x)$ cuando $x$ tiende a $a$, entonces:
$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) – g(x))$ $ = \lim_{x \rightarrow a} f(x) – \lim_{x \rightarrow a} g(x)$ $ = L_1 – L_2$
Esta propiedad es útil para simplificar la evaluación de límites de funciones que consisten en la resta de varias funciones más simples.
Ejemplo: Considera las funciones $f(x) = 3x$ y $g(x) = x^2$. Queremos encontrar el límite de $f(x) – g(x)$ cuando $x$ tiende a 1.
Primero, encontramos los límites individuales:
$$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} 3x = 3 \cdot 1 = 3$$
$$\lim_{x \rightarrow 1} g(x) = \lim_{x \rightarrow 1} x^2 = 1^2 = 1$$
Luego, aplicamos la propiedad de la resta de límites:
$\lim_{x \rightarrow 1} (f(x) – g(x))$ $ = \lim_{x \rightarrow 1} f(x) – \lim_{x \rightarrow 1} g(x)$ $ = 3 – 1 = 2$
Por lo tanto, el límite de $f(x) – g(x)$ cuando $x$ tiende a 1 es 2.
8. Propiedad del producto de límites
La propiedad del producto de límites establece que el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites individuales de esas funciones. Matemáticamente, si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones y $L_1$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$, y $L_2$ es el límite de $g(x)$ cuando $x$ tiende a $a$, entonces:
$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \cdot g(x))$ $ = \lim_{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow a} g(x)$ $ = L_1 \cdot L_2$
Esta propiedad es útil para simplificar la evaluación de límites de funciones que consisten en el producto de varias funciones más simples.
Ejemplo: Considera las funciones $f(x) = 2x$ y $g(x) = x^2$. Queremos encontrar el límite de $f(x) \cdot g(x)$ cuando $x$ tiende a 2.
Primero, encontramos los límites individuales:
$$\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} 2x = 2 \cdot 2 = 4$$
$$\lim_{x \rightarrow 2} g(x) = \lim_{x \rightarrow 2} x^2 = 2^2 = 4$$
Luego, aplicamos la propiedad del producto de límites:
$\lim_{x \rightarrow 2} (f(x) \cdot g(x))$ $ = \lim_{x \rightarrow 2} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow 2} g(x)$ $ = 4 \cdot 4 = 16$
Por lo tanto, el límite de $f(x) \cdot g(x)$ cuando $x$ tiende a 2 es 16.
9. Propiedad del cociente de límites
La propiedad del cociente de límites establece que el límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites individuales de esas funciones, siempre que el límite del denominador no sea cero. Matemáticamente, si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones y $L_1$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$, y $L_2$ es el límite de $g(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ y $L_2 \neq 0$, entonces:
$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \rightarrow a} f(x)}{\lim_{x \rightarrow a} g(x)} = \frac{L_1}{L_2}$$
Esta propiedad nos permite simplificar la evaluación de límites de funciones que consisten en el cociente de varias funciones más simples.
Ejemplo: Considera las funciones $f(x) = 3x$ y $g(x) = x$. Queremos encontrar el límite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ cuando $x$ tiende a 2.
Primero, encontramos los límites individuales:
$$\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} 3x = 3 \cdot 2 = 6$$
$$\lim_{x \rightarrow 2} g(x) = \lim_{x \rightarrow 2} x = 2$$
Luego, aplicamos la propiedad del cociente de límites:
$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \rightarrow 2} f(x)}{\lim_{x \rightarrow 2} g(x)} = \frac{6}{2} = 3$$
Por lo tanto, el límite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ cuando $x$ tiende a 2 es 3.
10. Propiedad de una función elevada a una constante
La propiedad de una función elevada a una constante establece que el límite de una función \(f(x)\) elevada a una constante \(k\) es igual al límite de \(f(x)\) elevado a \(k\). Matemáticamente, si \(f(x)\) es una función y \(k\) es una constante, entonces:
\(\lim_{x\rightarrow a}(f(x))^k = (\lim_{x\rightarrow a}f(x))^k\)
Esta propiedad se basa en la continuidad de las funciones potencia y composición de funciones.
Ejemplo: Considera la función \(f(x)=x^2\). Queremos calcular \(\lim_{x\rightarrow 2}(x^2)^3\).
Primero, calculamos \(\lim_{x\rightarrow 2}x^2\): \(\lim_{x\rightarrow 2}x^2 = 2^2 = 4\)
Luego, aplicamos la propiedad:
$\lim_{x\rightarrow 2}(x^2)^3$ $ = (\lim_{x\rightarrow 2}x^2)^3$ $ = 4^3 = 64$
Por lo tanto, el límite de \((x^2)^3\) cuando \(x\) tiende a 2 es 64.
11. Propiedad del límite de una potencia de funciones
La propiedad del límite de \(f(x)\) a la \(g(x)\) establece que si \(f(x)\) y \(g(x)\) son dos funciones cuyos límites cuando \(x\) tiende a un número \(a\) existen y \(g(x)\) es distinto de cero en un entorno de \(a\), entonces el límite de \(f(x)\) elevado a \(g(x)\) es igual a \(f(a)\) elevado a \(g(a)\), siempre que \(f(x)\) sea continua en \(a\). Matemáticamente, si \(\lim_{x\rightarrow a}f(x) = L\) y \(\lim_{x\rightarrow a}g(x) = M\), entonces:
\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{g(x)} = L^M\)
Esta propiedad se basa en la continuidad de las funciones exponenciales y la continuidad de la función \(f(x)^{g(x)}\) en un entorno de \(a\).
Ejemplo: Considera las funciones \(f(x)=x\) y \(g(x)=\frac{1}{x}\). Queremos encontrar el límite de \(f(x)\) elevado a \(g(x)\) cuando \(x\) tiende a 1.
Primero, encontramos los límites individuales: \(\lim_{x\rightarrow 1}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1}x = 1\) \(\lim_{x\rightarrow 1}g(x) = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x} = 1\)
Luego, aplicamos la propiedad: $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)^{g(x)}$ $ = \lim_{x\rightarrow 1}x^{\frac{1}{x}} = 1^1 = 1$
Por lo tanto, el límite de \(x\) elevado a \(\frac{1}{x}\) cuando \(x\) tiende a 1 es 1.
12. Propiedad del límite de funciones compuestas
La propiedad del límite de funciones compuestas establece que el límite de una función compuesta es igual al límite de la función exterior evaluada en el límite de la función interior, siempre que el límite de la función interior exista en un entorno del punto en consideración y la función exterior sea continua en el límite de la función interior. Matemáticamente, si \(f\) y \(g\) son funciones y \(\lim_{x\rightarrow a}g(x) = L\) y \(\lim_{x\rightarrow L}f(x) = M\), donde \(L\) es un número y \(f\) es continua en \(L\), entonces:
$\lim_{x\rightarrow a}f(g(x))$ $ = f(\lim_{x\rightarrow a}g(x))$ $ = f(L) = M$
Esta propiedad se basa en la continuidad de la función \(f\) en \(L\) y en la definición del límite.
Ejemplo: Considera las funciones \(f(x)=x\) y \(g(x)=x^2\). Queremos encontrar el límite de \(f(g(x))\) cuando \(x\) tiende a 2.
Primero, encontramos el límite de la función interior \(g(x)\): \(\lim_{x\rightarrow 2}g(x) = \lim_{x\rightarrow 2}x^2 = 2^2 = 4\)
Luego, aplicamos la propiedad del límite de funciones compuestas: $\lim_{x\rightarrow 2}f(g(x))$ $ = \lim_{x\rightarrow 2}f(x^2)$ $ = f(\lim_{x\rightarrow 2}x^2) = f(4) = 4$
Por lo tanto, el límite de \(f(g(x))\) cuando \(x\) tiende a 2 es 2.
13. Propiedad de límites de funciones racionales
La propiedad de límites de funciones racionales establece que el límite de una función racional, es decir, el cociente de dos polinomios, es igual al cociente de los límites de los polinomios, siempre que el límite del denominador no sea cero. Matemáticamente, si \(f(x)\) y \(g(x)\) son polinomios y \(\lim_{x\rightarrow a}g(x)\neq 0\), entonces:
\(\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}\)
Esta propiedad es útil para encontrar límites de funciones racionales de manera más sencilla al dividir el límite del numerador por el límite del denominador.
Ejemplo: Considera la función \(h(x) = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x – 1}\). Queremos encontrar el límite de \(h(x)\) cuando \(x\) tiende a 1.
Primero, evaluamos los límites del numerador y denominador:
Numerador: $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ $= \lim_{x\rightarrow 1}(2x^2 – 3x + 1)$ $ = 2(1)^2 – 3(1) + 1$ $ = 2 – 3 + 1 = 0$
Denominador: $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)$ $ = \lim_{x\rightarrow 1}(x – 1)$ $ = 1 – 1 = 0$
Como el límite del denominador es cero, no podemos aplicar directamente la propiedad. Sin embargo, podemos factorizar el numerador y cancelar el término común con el denominador para eliminar la indeterminación: $h(x) = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x – 1}$ $ = \frac{(2x – 1)(x – 1)}{x – 1} = 2x – 1$
Ahora podemos encontrar el límite directamente: $\lim_{x\rightarrow 1}h(x) $ $= \lim_{x\rightarrow 1}(2x – 1)$ $ = 2(1) – 1 = 1$
Por lo tanto, el límite de \(h(x)\) cuando \(x\) tiende a 1 es 1.
14. Propiedad del límite de una función irracional con raíz n-ésima
La propiedad del límite de una función irracional con raíz n-ésima establece que el límite de una función de la forma \(f(x) = \sqrt[n]{g(x)}\) cuando \(x\) tiende a un número \(a\) es igual a la raíz n-ésima del límite de \(g(x)\), siempre que el límite de \(g(x)\) sea positivo o cero. Matemáticamente, si \(\lim_{x\rightarrow a}g(x) \geq 0\) y \(n\) es un entero positivo, entonces:
\(\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{g(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}\)
Esta propiedad se aplica a funciones como \(\sqrt{x}\), \(\sqrt[3]{x}\), etc., donde la raíz n-ésima está definida y el límite de la función bajo la raíz es positivo o cero.
Ejemplo: Considera la función \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). Queremos encontrar el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 0.
Primero, evaluamos el límite de la función interior: \(\lim_{x\rightarrow 0}x^2 + 1 = 1\)
Dado que el límite de la función bajo la raíz es 1 (positivo), podemos aplicar la propiedad: $\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x^2 + 1} $ $= \sqrt{\lim_{x\rightarrow 0}(x^2 + 1)}$ $ = \sqrt{1} = 1$
Por lo tanto, el límite de \(\sqrt{x^2 + 1}\) cuando \(x\) tiende a 0 es 1.
15. Propiedad del límite de una función logarítmica
La propiedad del límite de una función logarítmica establece que el límite de una función logarítmica \(f(x) = \log_a(g(x))\) cuando \(x\) tiende a un número \(a\) es igual al logaritmo de \(g(a)\) en la base \(a\), siempre que el límite de \(g(x)\) exista y sea positivo. Matemáticamente, si \(\lim_{x\rightarrow a}g(x) = L\) y \(L > 0\), entonces:
\(\lim_{x\rightarrow a}\log_a(g(x)) = \log_a(L)\)
Esta propiedad se basa en la continuidad de las funciones logarítmicas y la relación entre logaritmos y exponenciales.
Ejemplo: Considera la función \(f(x) = \log_2(x^2)\). Queremos encontrar el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 1.
Primero, evaluamos el límite de la función interior: \(\lim_{x\rightarrow 1}x^2 = 1^2 = 1\)
Dado que el límite de la función bajo el logaritmo es 1 (positivo), podemos aplicar la propiedad: $\lim_{x\rightarrow 1}\log_2(x^2)$ $ = \log_2(\lim_{x\rightarrow 1}x^2)$ $ = \log_2(1) = 0$
Por lo tanto, el límite de \(\log_2(x^2)\) cuando \(x\) tiende a 1 es 0.
Resumen
Si tenemos dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ cuyos límites cuando $x$ tiende a $a$ existen, entonces:
Suma: $\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))$ $=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$
Resta: $\lim_{x\to a}(f(x)-g(x))$ $=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$
Producto: $\lim_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))$ $=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)$
Cociente: $\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)$ $=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$
Límites de funciones compuestas:
Si $g$ es continua en $b$ y $\lim_{x\to a}f(x)=b$, entonces:
$\lim_{x\to a}g(f(x))$ $=g(\lim_{x\to a}f(x))=g(b)$
En otras palabras, el límite de una función compuesta es igual a la función externa evaluada en el límite interno.
Límites de funciones racionales:
Para una función racional $\frac{p(x)}{q(x)}$, si $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios y $q(x)\neq 0$, entonces:
- Si el grado de $p(x)$ es menor que el grado de $q(x)$, entonces el límite cuando $x$ tiende a $\pm\infty$ es 0.
- Si el grado de $p(x)$ es igual al grado de $q(x)$, entonces el límite cuando $x$ tiende a $\pm\infty$ es el cociente de los coeficientes principales de los términos de mayor grado.
- Si el grado de $p(x)$ es mayor que el grado de $q(x)$, entonces el límite cuando $x$ tiende a $\pm\infty$ es $\pm\infty$ o no existe.
Estas propiedades son esenciales para simplificar el cálculo de límites y nos permiten abordar funciones más complejas mediante el uso adecuado de las operaciones aritméticas y algebraicas en los límites.