9. Límites y Asíntotas

En el contexto de las funciones, las asíntotas son líneas rectas que una función se aproxima continuamente pero nunca alcanza. Pueden ser verticales, horizontales u oblicuas y son importantes para comprender el comportamiento de una función en puntos críticos.

Definición de Asíntota

Una asíntota es una línea recta que una función se aproxima continuamente pero nunca alcanza. Se utiliza para describir el comportamiento de una función en valores extremos o en el infinito. Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales u oblicuas.

Asíntotas Verticales

Una asíntota vertical es una línea vertical que una función se aproxima pero nunca cruza. Se produce cuando la función se acerca a un valor verticalmente sin límite. Por ejemplo, la función $\frac{1}{x}$ tiene una asíntota vertical en $x = 0$ porque la función se acerca a infinito cuando $x$ se acerca a cero desde la derecha y a menos infinito cuando $x$ se acerca a cero desde la izquierda.

Asíntotas Horizontales

Una asíntota horizontal es una línea horizontal que una función se aproxima pero nunca cruza. Se produce cuando la función se acerca a un valor horizontalmente sin límite. Por ejemplo, la función $\frac{1}{x^2}$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ porque la función se acerca a cero cuando $x$ tiende a infinito.

Asíntotas Oblicuas

Una asíntota oblicua es una línea no horizontal ni vertical que una función se aproxima pero nunca cruza. Se produce cuando la función se acerca a una recta con una pendiente fija. Por ejemplo, la función $f(x) = x + \frac{1}{x}$ tiene una asíntota oblicua en $y = x$ porque la función se acerca a la recta $y = x$ cuando $x$ tiende a infinito.

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Las asíntotas son importantes porque ayudan a comprender el comportamiento de una función en valores extremos o en el infinito. Pueden utilizarse para determinar el límite de una función en el infinito o para identificar valores extremos de una función.

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