5. Técnicas y métodos para resolver y evaluar límites de funciones | sustitución racionalización factorización

Los límites son conceptos fundamentales en el cálculo y la matemática en general. Nos permiten entender el comportamiento de las funciones en puntos críticos y resolver una amplia variedad de problemas en diversas áreas. Al aprender las técnicas adecuadas para evaluar límites, te abrirás a un mundo de posibilidades matemáticas donde podrás abordar problemas más complejos con confianza y precisión.

Las técnicas para evaluar límites pueden parecer desafiantes al principio, pero una vez que las comprendas y practiques, descubrirás que resolver problemas de límites se vuelve mucho más fácil y gratificante. Te animamos a explorar estas técnicas y métodos con curiosidad y determinación, ya que te abrirán las puertas a un mayor entendimiento y dominio de las matemáticas.

¡Prepárate para descubrir la belleza y la utilidad de las técnicas para evaluar límites y dar un paso más hacia tu dominio de las matemáticas

1. Sustitución Directa:

¿En qué consiste? La sustitución directa es una técnica básica para evaluar límites que consiste en reemplazar el valor de \(x\) en la función y calcular el límite directamente.

¿En qué casos se usa? Esta técnica es aplicable cuando la función está definida en el punto donde se evalúa el límite y no produce una indeterminación. Es la técnica más sencilla y se utiliza cuando el valor de \(x\) se puede sustituir directamente en la función.

Cómo se usa:

  1. Reemplaza el valor de \(x\) en la función.
  2. Calcula el valor de la función en el punto dado.
  3. Este valor es el límite de la función cuando \(x\) tiende al valor dado.
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Ejemplo:

Considera la función \(f(x)=x^2+3x-2\). Queremos encontrar el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 2.

  1. Sustituimos \(x=2\) en la función: \(f(2)=2^2+3(2)-2\).
  2. Calculamos: \(f(2)=4+6-2=8\).

Entonces, el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 2 es 8.

2. Factorización:

¿En qué consiste? La factorización es una técnica fundamental en matemáticas para simplificar funciones algebraicas dividiéndolas en factores más simples. Para ello, se pueden emplear diversas formas de factorización, como los productos notables, que permiten expresar una función como el producto de dos o más factores y facilitan el cálculo de límites y otras operaciones algebraicas.

¿En qué casos se usa? Se usa cuando la función contiene términos que se pueden factorizar y así cancelar términos comunes.

Cómo se usa:

  1. Identifica términos comunes en la función.
  2. Factoriza la función, dividiéndola en factores.
  3. Cancela los términos comunes si es posible.
  4. Evalúa el límite con la función factorizada.

Ejemplo:

Dada la función \(f(x)=\frac{x^2-4x}{x-2}\), para encontrar \(\lim_{x\rightarrow 2} f(x)\) usando factorización, primero factorizamos el numerador como una diferencia de cuadrados: \(x^2-4=(x+2)(x-2)\). Entonces, la función se convierte en \(f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\). Cancelando los términos comunes, obtenemos \(f(x)=x+2\). Finalmente, al evaluar el límite cuando \(x\) se acerca a 2, obtenemos \(\lim_{x\rightarrow 2} f(x)=2+2=4\).

3. Racionalización:

¿En qué consiste?

La racionalización es una técnica utilizada para eliminar raíces cuadradas u otras raíces en el denominador de una fracción.

¿En qué casos se usa?

Se usa cuando tienes una expresión con una raíz en el denominador y quieres simplificarla para facilitar el cálculo de límites u operaciones similares.

Cómo se usa:

  1. Multiplica tanto el numerador como el denominador por la raíz o el conjugado de la raíz en el denominador para eliminar la raíz del denominador.
  2. Simplifica la expresión resultante si es posible.
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Ejemplo:

Para encontrar \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} – 1}{x}\), usamos la técnica de racionalización. Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de \(\sqrt{1 + x} + 1\), obteniendo:

\[
\begin{aligned}
&\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) – 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \\
&= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]

4. Regla de L’Hôpital para Resolver Límites de Funciones:

Nota: Para aplicar la regla de L’Hôpital es necesario conocer cómo derivar funciones. Es posible que aún no sepas derivadas, pero no te preocupes, en próximas lecciones desarrollarás todo sobre las derivadas. Por ahora, es importante entender que también es posible resolver problemas de límites de funciones aplicando esta técnica, siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones.

La regla de L’Hôpital es una técnica utilizada para evaluar límites de funciones en casos de formas indeterminadas como $0/0$ o $\infty/\infty$. Esta regla se aplica cuando al dividir dos funciones que tienden a 0 o $\infty$ en el mismo punto, se obtiene una forma indeterminada.

Pasos para aplicar la regla de L’Hôpital:

  1. Identificar la forma indeterminada: Se debe verificar si el límite tiene una forma indeterminada como $0/0$ o $\infty/\infty$.
  2. Verificar las condiciones de aplicabilidad: Para aplicar la regla, es necesario que tanto el numerador como el denominador tiendan a 0 o $\infty$ en el mismo punto.
  3. Calcular las derivadas: Si se cumplen las condiciones anteriores, se calculan las derivadas del numerador y el denominador.
  4. Aplicar la regla de L’Hôpital: La regla establece que el límite original se puede reemplazar por el límite de las derivadas, es decir:
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$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

  1. Evaluar el nuevo límite: Se evalúa el nuevo límite obtenido después de aplicar la regla de L’Hôpital.
  2. Repetir si es necesario: Si el nuevo límite también es una forma indeterminada, se puede aplicar la regla de L’Hôpital nuevamente, derivando numerador y denominador una vez más.
  3. Determinar el resultado final: Continuar aplicando la regla hasta obtener un límite determinado o concluir que el límite no existe.

Es importante recordar que la regla de L’Hôpital es una técnica poderosa pero debe usarse con precaución y solo cuando se cumplen las condiciones adecuadas. En algunos casos, puede ser necesario realizar transformaciones algebraicas adicionales o utilizar otras técnicas para evaluar el límite correctamente.

Ejemplo:

Aquí tienes un ejemplo resuelto utilizando la regla de L’Hôpital para evaluar un límite:

Calcular $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 6}$.

Solución:

Al evaluar directamente obtenemos la forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$, por lo que podemos aplicar la regla de L’Hôpital.

  1. Derivamos el numerador y el denominador:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 6} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{2x + 5}$$

  1. Evaluamos el límite de las derivadas:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{2x + 5} = \frac{\infty + 3}{\infty + 5} = \frac{\infty}{\infty}$$

  1. Aplicamos nuevamente la regla de L’Hôpital:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{2x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{2} = 1$$

Por lo tanto, $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 6} = 1$.

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