Para calcular la derivada de una función, existen varias reglas básicas que nos permiten simplificar el proceso. En esta sección, veremos algunas de las reglas más importantes para calcular derivadas de funciones elementales.
2.1. Derivada de funciones constantes
La derivada de una función constante es cero. Esto se debe a que la tasa de cambio de una constante es cero. Matemáticamente, si $f(x) = c$, donde $c$ es una constante, entonces:
$$f'(x) = 0$$
2.2. Derivada de funciones potencia
La derivada de una función potencia es una función potencia de exponente reducido en uno, multiplicada por el exponente original. Matemáticamente, si $f(x) = x^n$, donde $n$ es un número real, entonces:
$$f'(x) = nx^{n-1}$$
2.3. Derivada de funciones polinómicas
La derivada de una función polinómica es una función polinómica de grado menor. Para calcular la derivada de una función polinómica, basta con aplicar la regla de la derivada de funciones potencia a cada uno de sus términos. Matemáticamente, si:
$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$,
Donde $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ son constantes, entonces:
$f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1$
2.4. Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
La derivada de una función exponencial es la misma función exponencial multiplicada por su exponente. Matemáticamente, si $f(x) = a^{g(x)}$, donde $a$ es una constante y $g(x)$ es una función, entonces:
$$f'(x) = a^{g(x)} \ln(a) g'(x)$$
La derivada de una función logarítmica es la derivada de su argumento dividida por el argumento. Matemáticamente, si $f(x) = \log_a(g(x))$, donde $a$ es una constante y $g(x)$ es una función, entonces:
$$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x) \ln(a)}$$
2.5. Derivada de funciones trigonométricas
La derivada de una función trigonométrica es otra función trigonométrica. Matemáticamente, si $f(x) = \sin(g(x))$, donde $g(x)$ es una función, entonces:
$$f'(x) = \cos(g(x)) g'(x)$$
Si $f(x) = \cos(g(x))$, donde $g(x)$ es una función, entonces:
$$f'(x) = -\sin(g(x)) g'(x)$$
Si $f(x) = \tan(g(x))$, donde $g(x)$ es una función, entonces:
$$f'(x) = \sec^2(g(x)) g'(x)$$
2.6. Regla del producto y regla del cociente
La regla del producto nos permite calcular la derivada de un producto de funciones. Matemáticamente, si $f(x) = g(x) h(x)$, donde $g(x)$ y $h(x)$ son funciones, entonces:
$$f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x)$$
La regla del cociente nos permite calcular la derivada de un cociente de funciones. Matemáticamente, si $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, donde $g(x)$ y $h(x)$ son funciones, entonces:
$$f'(x) = \frac{g'(x) h(x) – g(x) h'(x)}{h^2(x)}$$
2.7. Regla de la cadena
La regla de la cadena nos permite calcular la derivada de una función compuesta. Matemáticamente, si $f(x) = g(h(x))$, donde $g(x)$ y $h(x)$ son funciones, entonces:
$$f'(x) = g'(h(x)) h'(x)$$
En resumen, en esta sección hemos visto algunas de las reglas básicas para calcular derivadas de funciones elementales. Estas reglas nos permiten simplificar el proceso de cálculo y obtener derivadas de funciones más complejas a partir de funciones más sencillas. En las siguientes secciones, veremos cómo aplicar estas reglas a diversos problemas prácticos.