3. Derivadas de funciones compuestas

En muchas ocasiones, las funciones que queremos derivar no son funciones elementales, sino funciones compuestas, es decir, funciones que están formadas por la composición de otras funciones. En esta sección, veremos cómo calcular derivadas de funciones compuestas utilizando la regla de la cadena.

3.1. Derivada de funciones compuestas

La regla de la cadena nos permite calcular la derivada de una función compuesta. Matemáticamente, si $f(x) = g(h(x))$, donde $g(x)$ y $h(x)$ son funciones, entonces:

$$f'(x) = g'(h(x)) h'(x)$$

Esta fórmula nos dice que la derivada de una función compuesta es igual a la derivada de la función exterior evaluada en la función interior, multiplicada por la derivada de la función interior.

Para aplicar la regla de la cadena, debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Identificar la función exterior y la función interior.
  2. Calcular la derivada de la función exterior con respecto a su variable.
  3. Calcular la derivada de la función interior con respecto a su variable.
  4. Sustituir la función interior en la derivada de la función exterior.
  5. Multiplicar la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior.

Veamos un ejemplo para ilustrar el proceso.

Ejemplo: Calcular la derivada de $f(x) = \sin(x^2)$.

Solución:

  1. La función exterior es $g(u) = \sin(u)$ y la función interior es $h(x) = x^2$.
  2. La derivada de la función exterior es $g'(u) = \cos(u)$.
  3. La derivada de la función interior es $h'(x) = 2x$.
  4. Sustituimos la función interior en la derivada de la función exterior: $g'(h(x)) = \cos(x^2)$.
  5. Multiplicamos la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior: $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$.
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Por tanto, la derivada de $f(x) = \sin(x^2)$ es $f'(x) = 2x \cos(x^2)$.

3.2. Ejemplos y ejercicios

A continuación, presentamos algunos ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de derivadas de funciones compuestas.

Ejemplo 1: Calcular la derivada de $f(x) = (x^2+1)^3$.

Solución:

  1. La función exterior es $g(u) = u^3$ y la función interior es $h(x) = x^2+1$.
  2. La derivada de la función exterior es $g'(u) = 3u^2$.
  3. La derivada de la función interior es $h'(x) = 2x$.
  4. Sustituimos la función interior en la derivada de la función exterior: $g'(h(x)) = 3(x^2+1)^2$.
  5. Multiplicamos la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior: $f'(x) = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2$.

Por tanto, la derivada de $f(x) = (x^2+1)^3$ es $f'(x) = 6x(x^2+1)^2$.

Ejemplo 2: Calcular la derivada de $f(x) = \ln(\sin(x))$.

Solución:

  1. La función exterior es $g(u) = \ln(u)$ y la función interior es $h(x) = \sin(x)$.
  2. La derivada de la función exterior es $g'(u) = \frac{1}{u}$.
  3. La derivada de la función interior es $h'(x) = \cos(x)$.
  4. Sustituimos la función interior en la derivada de la función exterior: $g'(h(x)) = \frac{1}{\sin(x)}$.
  5. Multiplicamos la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior: $f'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \cot(x)$.

Por tanto, la derivada de $f(x) = \ln(\sin(x))$ es $f'(x) = \cot(x)$.

Ejercicios:

  1. Calcular la derivada de $f(x) = \sqrt{x^2+1}$.
  2. Calcular la derivada de $f(x) = e^{x^2}$.
  3. Calcular la derivada de $f(x) = \tan(x^2)$.
  4. Calcular la derivada de $f(x) = \cos(\ln(x))$.
  5. Calcular la derivada de $f(x) = \sin^2(x)$.

Respuestas:

  1. $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
  2. $f'(x) = 2xe^{x^2}$.
  3. $f'(x) = 2x \sec^2(x^2)$.
  4. $f'(x) = -\frac{\sin(\ln(x))}{x}$.
  5. $f'(x) = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$.

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