- Derivadas de funciones especiales
En cálculo, hay algunas funciones especiales que tienen derivadas particulares. En esta sección, veremos cómo calcular las derivadas de la función inversa, la función exponencial, la función logarítmica y la función trigonométrica inversa.
12.1. Derivada de la función inversa
Supongamos que tenemos una función $y = f(x)$ que es invertible, es decir, podemos encontrar una función $x = g(y)$ tal que $f(g(y)) = y$ y $g(f(x)) = x$. Para encontrar la derivada de la función inversa $g(y)$, podemos utilizar la regla de la cadena:
$$\frac{dg}{dy} = \frac{1}{\frac{df}{dx}}$$
donde $\frac{df}{dx}$ es la derivada de la función original $f(x)$ evaluada en el punto $x = g(y)$.
Por ejemplo, consideremos la función $y = x^2 + 3x – 2$. Para encontrar la derivada de la función inversa, primero debemos encontrar la función inversa. Podemos hacerlo resolviendo para $x$ en términos de $y$:
$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4(y + 2)}}{2}$$
Elegimos la raíz positiva para obtener una función invertible:
$$x = \frac{-3 + \sqrt{9 + 4(y + 2)}}{2}$$
Ahora, para encontrar la derivada de la función inversa, utilizamos la regla de la cadena:
$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{2x + 3}$$
Evaluamos la derivada en el punto $x = g(y)$:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2 \left( \frac{-3 + \sqrt{9 + 4(y + 2)}}{2} \right) + 3}$ $= \frac{2}{\sqrt{9 + 4(y + 2)}}$
Esta es la derivada de la función inversa de $y = x^2 + 3x – 2$.
12.2. Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial $y = e^x$ es simplemente $y’ = e^x$. Esto se debe a que la derivada de la función exponencial es igual a la función original.
Por ejemplo, consideremos la función $y = e^{x^2}$. Para encontrar la derivada de esta función, utilizamos la regla de la cadena:
$$y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
donde $u = x^2$. La derivada de $e^u$ es $e^u$, por lo que:
$$y’ = e^{x^2} (2x)$$
Esta es la derivada de la función $y = e^{x^2}$.
12.3. Derivada de la función logarítmica
La derivada de la función logarítmica natural $y = \ln(x)$ es $y’ = \frac{1}{x}$. Esto se debe a que la derivada de la función logarítmica es la inversa de la función original.
Por ejemplo, consideremos la función $y = \ln(x^2 + 3x – 2)$. Para encontrar la derivada de esta función, utilizamos la regla de la cadena:
$$y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
donde $u = x^2 + 3x – 2$. La derivada de $\ln(u)$ es $\frac{1}{u}$, por lo que:
$$y’ = \frac{1}{x^2 + 3x – 2} (2x + 3)$$
Esta es la derivada de la función $y = \ln(x^2 + 3x – 2)$.
12.4. Derivada de la función trigonométrica inversa
Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son un poco más complicadas que las derivadas de las funciones trigonométricas normales. A continuación, se presentan las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas más comunes:
- $\frac{d}{dx} (\sin^{-1}(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$
- $\frac{d}{dx} (\cos^{-1}(x)) = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$
- $\frac{d}{dx} (\tan^{-1}(x)) = \frac{1}{1 + x^2}$
Por ejemplo, consideremos la función $y = \sin^{-1}(x^2 + 3x – 2)$. Para encontrar la derivada de esta función, utilizamos la regla de la cadena:
$$y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
donde $u = x^2 + 3x – 2$. La derivada de $\sin^{-1}(u)$ es $\frac{1}{\sqrt{1 – u^2}}$, por lo que:
$$y’ = \frac{1}{\sqrt{1 – (x^2 + 3x – 2)^2}} (2x + 3)$$
Esta es la derivada de la función $y = \sin^{-1}(x^2 + 3x – 2)$.
En resumen, en esta sección hemos visto cómo calcular las derivadas de la función inversa, la función exponencial, la función logarítmica y la función trigonométrica inversa. Estas funciones especiales tienen derivadas particulares que debemos tener en cuenta al calcular sus derivadas.