Enunciado: Un ingeniero desea analizar el ciclo termodinámico ideal de un automóvil comercial utilizando los datos de su ficha técnica. El vehículo posee un motor a gasolina de 4 tiempos con las siguientes características:
- Disposición: 4 cilindros en línea
- Cilindraje total: 1798 cc (1.798 L)
- Relación de compresión ($r$): 10:1
- Par motor al freno: 173 Nm a 4000 rpm
Para simplificar el análisis, asuma el modelo de Aire Estándar Ideal:
- El fluido de trabajo es únicamente aire comportándose como gas ideal.
- La constante del aire es $R = 0.287$ kJ/(kg·K).
- El calor específico a volumen constante es $C_v = 0.718$ kJ/(kg·K).
- La relación de calores específicos es $\gamma = 1.4$.
- Las condiciones iniciales (estado 1, inicio de compresión) son $T_1 = 300$ K y $P_1 = 101.3$ kPa.
Determine: a) Los volúmenes máximo y mínimo de un cilindro. b) La presión y temperatura en cada uno de los cuatro estados principales del ciclo. c) La eficiencia térmica del ciclo.
Solución Paso a Paso
Parte A: Geometría del Cilindro (Volúmenes)
Para analizar un ciclo termodinámico, siempre debemos enfocarnos en un solo cilindro. Primero, calculamos el volumen que el pistón desplaza en su movimiento (cilindrada unitaria o volumen desplazado, $V_d$):
$$V_d = \frac{1798 \text{ cc}}{4} = 449.5 \text{ cc} = 0.4495 \text{ L}$$
💡 Nota Didáctica — Volúmenes: Un error muy común es asumir que el volumen desplazado ($V_d$) es el volumen máximo del cilindro ($V_1$). En realidad, $V_1$ incluye el volumen desplazado más el pequeño espacio que queda cuando el pistón está en el Punto Muerto Superior (la cámara de combustión o volumen de holgura, $V_2$). La fórmula que los relaciona es la relación de compresión: $r = V_1 / V_2$. Como $V_1 = V_2 + V_d$, podemos reescribir: $r = 1 + V_d / V_2$.
Usando $r = 10$, despejamos $V_2$:
$$10 = 1 + \frac{0.4495}{V_2} \implies 9 = \frac{0.4495}{V_2} \implies V_2 = 0.04994 \text{ L}$$
Y el volumen total al inicio de la compresión:
$$V_1 = V_2 + V_d = 0.04994 + 0.4495 = 0.49944 \text{ L}$$
Respuesta A: El volumen máximo es $V_1 = 0.49944$ L y el mínimo es $V_2 = 0.04994$ L.
Parte B: Análisis de los Cuatro Estados
Estado 1 — Inicio de la compresión
- $P_1 = 101.3$ kPa (dato)
- $T_1 = 300$ K (dato)
- $V_1 = 0.49944$ L (calculado)
Estado 2 — Fin de la compresión isentrópica ($1 \rightarrow 2$)
El pistón sube comprimiendo el aire sin intercambio de calor con el exterior (proceso adiabático e isentrópico).
💡 Nota Didáctica — Compresión: Al comprimir un gas rápidamente, su temperatura sube de forma drástica. Esto se calcula con las relaciones isentrópicas para gases ideales: $T_2/T_1 = (V_1/V_2)^{\gamma-1}$ y $P_2/P_1 = (V_1/V_2)^\gamma$. El cociente $V_1/V_2$ es simplemente la relación de compresión $r$.
$$T_2 = T_1 \cdot r^{\gamma-1} = 300 \cdot (10)^{0.4} = 753.6 \text{ K}$$
$$P_2 = P_1 \cdot r^{\gamma} = 101.3 \cdot (10)^{1.4} = 2544.6 \text{ kPa}$$
Parte C: Eficiencia Térmica del Ciclo
Con los datos del ciclo ya definidos en los estados 1 y 2, podemos calcular directamente la eficiencia térmica ideal antes de continuar con los estados 3 y 4, ya que este resultado se necesitará para deducir el calor de entrada:
$$\eta = 1 – \frac{1}{r^{\gamma-1}} = 1 – \frac{1}{(10)^{0.4}} = 1 – 0.3981 = 0.6019$$
Respuesta C: La eficiencia térmica ideal del ciclo es $\eta = 60.2%$.
Parte B (continuación): Estados 3 y 4
Estado 3 — Fin de la adición de calor ($2 \rightarrow 3$)
La combustión ocurre tan rápido que el volumen prácticamente no cambia ($V_3 = V_2 = 0.04994$ L). Para encontrar $T_3$ y $P_3$ necesitamos saber cuánta energía ingresó, y para eso usamos el par motor al freno.
⚠️ Nota de Ingeniería Aplicada — Trabajo Indicado vs. Trabajo al Freno: El par que figura en la ficha técnica es el par al freno: el trabajo mecánico neto que el motor entrega en el cigüeñal, medido en un freno dinamométrico. Este valor ya descuenta las pérdidas por fricción interna (anillos, cojinetes), las pérdidas por bombeo y el arrastre de accesorios (bomba de aceite, alternador). El trabajo termodinámico real del gas — llamado trabajo indicado — es siempre mayor. En este análisis asumiremos eficiencia mecánica del 100 %, es decir, que ambos son equivalentes. Esto simplifica el cálculo pero subestima el calor real que debe aportar la combustión.
En un motor de 4 tiempos el cigüeñal gira 2 revoluciones por ciclo ($4\pi$ radianes), por lo que el trabajo total del motor por ciclo es:
$$W_{\text{total}} = 173 \text{ Nm} \cdot 4\pi = 2174 \text{ J}$$
Dividido entre los 4 cilindros:
$$W_{\text{neto por cilindro}} = \frac{2174}{4} = 543.5 \text{ J} = 0.5435 \text{ kJ}$$
Usando la eficiencia calculada en la Parte C:
$$Q_{\text{in}} = \frac{W_{\text{neto}}}{\eta} = \frac{0.5435}{0.602} = 0.9028 \text{ kJ}$$
Determinamos la masa de aire atrapada en el cilindro mediante la ley del gas ideal en el Estado 1:
$$m = \frac{P_1 \cdot V_1}{R \cdot T_1} = \frac{101.3 \times 0.00049944}{0.287 \times 300} = 5.873 \times 10^{-4} \text{ kg}$$
Aplicando la primera ley a volumen constante ($Q_{\text{in}} = m \cdot C_v \cdot \Delta T$):
$$0.9028 = 5.873 \times 10^{-4} \times 0.718 \times (T_3 – 753.6)$$
$$T_3 – 753.6 = \frac{0.9028}{4.217 \times 10^{-4}} = 2141.3 \implies T_3 = 2894.9 \text{ K} \approx 2895 \text{ K}$$
La presión máxima del ciclo, por la ley de Gay-Lussac (proceso isocórico):
$$P_3 = P_2 \cdot \frac{T_3}{T_2} = 2544.6 \times \frac{2895}{753.6} = 9772.3 \text{ kPa}$$
Estado 4 — Fin de la expansión isentrópica ($3 \rightarrow 4$)
Los gases empujan el pistón hasta el Punto Muerto Inferior, volviendo al volumen máximo ($V_4 = V_1$):
$$T_4 = T_3 \cdot \left(\frac{1}{r}\right)^{\gamma-1} = 2895 \cdot (0.1)^{0.4} = 1152.3 \text{ K}$$
$$P_4 = P_3 \cdot \left(\frac{1}{r}\right)^{\gamma} = 9772.3 \cdot (0.1)^{1.4} = 389.0 \text{ kPa}$$
Resumen de Resultados
| Estado | Proceso | Volumen (L) | Presión (kPa) | Temperatura (K) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Inicio de compresión | 0.4994 | 101.3 | 300.0 |
| 2 | Fin de compresión | 0.0499 | 2544.6 | 753.6 |
| 3 | Combustión | 0.0499 | 9772.3 | 2895.0 |
| 4 | Fin de expansión | 0.4994 | 389.0 | 1152.3 |
💡 Conclusión: Este modelo demuestra que para generar un par útil de 173 Nm en el cigüeñal, la presión interior del cilindro escala desde unas 25 atmósferas tras la compresión hasta casi 96.5 atmósferas (9772 kPa) en fracción de milisegundos, con temperaturas que rozan los 2900 K. Esto ilustra el esfuerzo térmico y mecánico extremo al que están sometidos el bloque, la culata y los pistones, y justifica el uso de aleaciones especiales, recubrimientos cerámicos y sistemas de refrigeración y lubricación de alto rendimiento.