9. Transformaciones de Coordenadas

Las transformaciones de coordenadas son herramientas fundamentales en geometría analítica que nos permiten estudiar y entender cómo cambian las figuras geométricas cuando se aplican ciertas operaciones. ¿Cómo podemos describir el movimiento de un objeto en el espacio? ¿Cómo se relacionan las coordenadas de un punto en diferentes sistemas de referencia?

A través de las transformaciones de coordenadas, podemos explorar conceptos como traslación, rotación, reflexión y escala, que son fundamentales en matemáticas y aplicaciones prácticas como la ingeniería, la física y la computación gráfica. En este tema, exploraremos cómo las transformaciones de coordenadas nos permiten visualizar y analizar las figuras geométricas de manera más profunda y completa.

7.1. Traslación de Ejes

Definición:
La traslación de ejes es el cambio de coordenadas en el que se desplaza el origen del sistema de coordenadas a un nuevo punto $(h, k)$.

Fórmulas de Transformación:
Si se desea trasladar el origen al punto $(h, k)$:

  • Nueva coordenada $x’$:
    $$ x’ = x – h $$
  • Nueva coordenada $y’$:
    $$ y’ = y – k $$

Ecuación General Trasladada:
Para una curva representada por $ f(x, y) = 0 $, la nueva ecuación será $ f(x’ + h, y’ + k) = 0 $.

Ejemplo:

  • Dada la parábola $ y^2 = 4ax $, trasladar el origen al punto $(h, k)$:
    $$ (y’ + k)^2 = 4a(x’ + h) $$

7.2. Rotación de Ejes

Definición:
La rotación de ejes es el cambio de coordenadas en el que se rota el sistema de coordenadas alrededor del origen un ángulo $\theta$.

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Fórmulas de Transformación:
Si se desea rotar el sistema un ángulo $\theta$ en sentido antihorario:

  • Nueva coordenada $x’$:
    $$ x’ = x \cos \theta + y \sin \theta $$
  • Nueva coordenada $y’$:
    $$ y’ = -x \sin \theta + y \cos \theta $$

Ecuación General Rotada:
Para una curva representada por $ f(x, y) = 0 $, la nueva ecuación será

$ f(x’ \cos \theta – y’ \sin \theta, x’ \sin \theta + y’ \cos \theta) = 0 $.

Ejemplo:

Dada la elipse $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $, rotar el sistema $\theta$ grados:

$ \frac{(x’ \cos \theta – y’ \sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(x’ \sin \theta + y’ \cos \theta)^2}{b^2} = 1 $

7.3. Otros Sistemas de Coordenadas

Sistema de Coordenadas Polares:

  • Definición:
    Las coordenadas polares utilizan una distancia $r$ desde el origen y un ángulo $\theta$ desde el eje positivo de $x$.
  • Fórmulas de Conversión:
    $$ x = r \cos \theta $$
    $$ y = r \sin \theta $$
    $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$
    $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $$

Sistema de Coordenadas Cilíndricas y Esféricas:

  • Coordenadas Cilíndricas:
    Utilizan $ (r, \theta, z) $, combinando coordenadas polares en el plano $xy$ y la coordenada $z$ en el eje vertical. $$ x = r \cos \theta $$
    $$ y = r \sin \theta $$
    $$ z = z $$
  • Coordenadas Esféricas:
    Utilizan $ (\rho, \phi, \theta) $, donde $\rho$ es la distancia desde el origen, $\phi$ es el ángulo con el eje $z$, y $\theta$ es el ángulo en el plano $xy$. $$ x = \rho \sin \phi \cos \theta $$
    $$ y = \rho \sin \phi \sin \theta $$
    $$ z = \rho \cos \phi $$

7.4. Ejemplos de Aplicaciones de Transformaciones de Coordenadas

Ejemplo 1: Traslación de una Parábola

  • Parábola original: $ y^2 = 4ax $
  • Trasladar el origen a $(h, k)$:
    $$ (y – k)^2 = 4a(x – h) $$
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Ejemplo 2: Rotación de una Elipse

Elipse original: $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $

Rotar la elipse un ángulo $\theta$:

$ \frac{(x \cos \theta + y \sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-x \sin \theta + y \cos \theta)^2}{b^2} = 1 $

Ejemplo 3: Uso de Coordenadas Polares

  • Convertir la circunferencia $ x^2 + y^2 = r^2 $ a coordenadas polares:
    $$ r^2 = r^2 $$

Estos son los conceptos básicos y ejemplos fundamentales sobre transformaciones de coordenadas.

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