8. La Hipérbola

¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, las antenas parabólicas y las órbitas de las naves espaciales? La respuesta es la hipérbola. La hipérbola es una figura geométrica fascinante con aplicaciones en astronomía, comunicaciones y física, entre otros campos. En geometría analítica, la hipérbola se estudia a través de ecuaciones que describen su forma y propiedades únicas.

Mediante el análisis de la ecuación estándar de la hipérbola, podemos explorar sus características, como los ejes, vértices y asíntotas. ¿Qué papel juega la hipérbola en la comunicación moderna y la exploración espacial? ¿Cómo se relaciona con otras figuras geométricas como la parábola y la elipse? Acompáñanos en este viaje por la hipérbola y descubre cómo esta figura intrigante y versátil desempeña un papel crucial en nuestra comprensión del espacio y las formas en geometría analítica.

6.1. Definición y Elementos de la Hipérbola

Definición:
Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

Elementos de la Hipérbola:

  1. Focos ($F$ y $F’$): Son los dos puntos fijos que definen la hipérbola.
  2. Centro ($C$): Es el punto medio del segmento que une los focos.
  3. Ejes: La hipérbola tiene dos ejes principales:
  • Eje Transversal: Es el eje que pasa por los focos. La distancia entre los vértices de la hipérbola se llama el eje mayor.
  • Eje Conjugado: Es perpendicular al eje transversal en el centro. La distancia entre los co-vértices se llama el eje menor.
  1. Vértices ($A$ y $A’$): Son los puntos de intersección de la hipérbola con su eje transversal.
  2. Co-Vértices ($B$ y $B’$): Son los puntos de intersección de la hipérbola con su eje conjugado.
  3. Asíntotas: Son las líneas que la hipérbola se acerca pero nunca toca.
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6.2. Ecuación General de la Hipérbola

La ecuación general de una hipérbola centrada en el origen, con el eje transversal a lo largo del eje $x$, es:
$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$
donde $a$ es la distancia del centro a cada vértice, y $b$ es la distancia del centro a cada co-vértice. La relación entre $a$, $b$ y la distancia $c$ desde el centro a cada foco es:
$$c^2 = a^2 + b^2$$

Para una hipérbola con el eje transversal a lo largo del eje $y$, la ecuación general es:
$$\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$$
Aquí, $a$ es la distancia del centro a cada vértice en el eje $y$, y $b$ es la distancia del centro a cada co-vértice en el eje $x$.

6.3. Ecuaciones de la Hipérbola con Centro en el Origen

Existen dos configuraciones básicas para las ecuaciones de la hipérbola, dependiendo de la orientación de los ejes:

  1. Hipérbola horizontal (eje transversal paralelo al eje $x$):
    $$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$
    En este caso:
  • Vértices: $(\pm a, 0)$
  • Focos: $(\pm c, 0)$
  • Asíntotas: $y = \pm \frac{b}{a}x$
  1. Hipérbola vertical (eje transversal paralelo al eje $y$):
    $$\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$$
    En este caso:
  • Vértices: $(0, \pm a)$
  • Focos: $(0, \pm c)$
  • Asíntotas: $y = \pm \frac{a}{b}x$

6.4. Posiciones Relativas de una Recta y una Hipérbola

Para determinar las posiciones relativas de una recta y una hipérbola, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la recta y la ecuación de la hipérbola. Dependiendo de la discriminante del sistema cuadrático resultante, podemos tener las siguientes situaciones:

  1. La recta intersecta a la hipérbola en dos puntos distintos:
  • En este caso, la discriminante es positiva.
  1. La recta es tangente a la hipérbola:
  • En este caso, la discriminante es cero. La recta toca la hipérbola en un único punto.
  1. La recta no intersecta a la hipérbola:
  • En este caso, la discriminante es negativa.
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6.5. Problemas Resueltos y Ejercicios Prácticos

Ejemplo 1:
Encuentra la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, vértices en $(\pm 5, 0)$ y asíntotas que pasan por el origen y tienen pendiente $\pm \frac{4}{3}$.

Solución:
Dado que los vértices están en el eje $x$, tenemos una hipérbola horizontal. La distancia desde el centro a los vértices es $a = 5$.
Las asíntotas tienen la forma $y = \pm \frac{b}{a}x$, así que $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$. Dado que $a = 5$, encontramos $b$ así:
$$\frac{b}{5} = \frac{4}{3} \implies b = \frac{20}{3}$$
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es:
$\frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{\left(\frac{20}{3}\right)^2} = 1$ $\implies \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{\frac{400}{9}} = 1$ $\implies \frac{x^2}{25} – \frac{9y^2}{400} = 1$

Ejemplo 2:
Determina la ecuación de las asíntotas de la hipérbola dada por $\frac{y^2}{9} – \frac{x^2}{16} = 1$.

Solución:
Para encontrar las asíntotas, observamos que son líneas rectas que pasan por el centro de la hipérbola y tienen la pendiente definida por $\frac{a}{b}$. En este caso:
$a = 3$ y $b = 4$, dado que $a^2 = 9$ y $b^2 = 16$
Las ecuaciones de las asíntotas son:
$$y = \pm \frac{a}{b}x = \pm \frac{3}{4}x$$
Por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas son:
$$y = \frac{3}{4}x \quad \text{y} \quad y = -\frac{3}{4}x$$

Ejercicios Prácticos:

  1. Encuentra la ecuación de una hipérbola con focos en $(\pm 7, 0)$ y una distancia entre los vértices de 10 unidades.
  2. Determina la ecuación de la hipérbola que tiene centro en el origen, vértices en $(0, \pm 6)$ y que pasa por el punto $(2, 10)$.
  3. Encuentra las coordenadas de los focos y la ecuación de las asíntotas de la hipérbola dada por $\frac{x^2}{36} – \frac{y^2}{49} = 1$.

Esta sección proporciona una base sólida para comprender y trabajar con hipérbolas, cubriendo sus definiciones, ecuaciones y cómo resolver problemas relacionados.

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