7. La Elipse

La elipse es una figura geométrica de gran importancia en diversos campos de la ciencia y la tecnología. ¿Qué tienen en común las órbitas planetarias, los reflectores parabólicos y los antiguos métodos de construcción? La respuesta es la elipse. En geometría analítica, la elipse se estudia mediante ecuaciones que permiten describir y analizar sus propiedades y aplicaciones.

A través de su ecuación estándar, podemos explorar las características de la elipse, como sus ejes, focos y la relación con otras figuras geométricas. Este estudio no solo enriquece nuestra comprensión matemática, sino que también revela la versatilidad de la elipse en problemas prácticos de ingeniería, astronomía y arquitectura. Acompáñanos en este recorrido para descubrir cómo la elipse, con su elegante forma y propiedades únicas, desempeña un papel crucial en la comprensión y aplicación de conceptos geométricos avanzados.

5.1. Definición y Elementos de la Elipse

Definición:
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante.

Elementos de la Elipse:

  • Focos ($F_1$ y $F_2$): Dos puntos fijos en el interior de la elipse.
  • Centro ($C$): Punto medio del segmento que une los focos.
  • Ejes:
  • Eje Mayor: Línea que pasa por los focos, la longitud del eje mayor es $2a$.
  • Eje Menor: Línea perpendicular al eje mayor en el centro, la longitud del eje menor es $2b$.
  • Vértices ($V_1$ y $V_2$): Puntos donde la elipse intercepta el eje mayor.
  • Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse.
  • Lado Recto ($LR$): Cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por los focos, de longitud $\frac{2b^2}{a}$.
TE RECOMENDAMOS LEER:   2. Lugares Geométricos

5.2. Ecuación General de la Elipse

Ecuación Estándar de la Elipse:

  • Con el eje mayor horizontal:
    $\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1$
    donde $(h, k)$ es el centro, $a$ es la semilongitud del eje mayor, y $b$ es la semilongitud del eje menor.
  • Con el eje mayor vertical:
    $\frac{(x – h)^2}{b^2} + \frac{(y – k)^2}{a^2} = 1$
    donde $(h, k)$ es el centro, $a$ es la semilongitud del eje mayor, y $b$ es la semilongitud del eje menor.

Ejemplo:

  • Elipse con centro en $(3, -2)$, $a = 5$, y $b = 3$:
  • Ecuación: $\frac{(x – 3)^2}{25} + \frac{(y + 2)^2}{9} = 1$

5.3. Ecuaciones de la Elipse con Centro en el Origen

Elipse con Eje Mayor Horizontal:

  • Ecuación: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Elipse con Eje Mayor Vertical:

  • Ecuación: $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$

Ejemplo:

  • Elipse con $a = 4$ y $b = 2$:
  • Ecuación con eje mayor horizontal: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
  • Ecuación con eje mayor vertical: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$

5.4. Posiciones Relativas de una Recta y una Elipse

Intersección entre una Recta y una Elipse:

  • Ecuación de la Recta: $y = mx + c$
  • Ecuación de la Elipse: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Resolución:

  1. Sustituir la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse.
  2. Resolver la ecuación cuadrática resultante.
  3. Análisis del discriminante ($\Delta$):
  • Si $\Delta > 0$, la recta intersecta la elipse en dos puntos.
  • Si $\Delta = 0$, la recta es tangente a la elipse.
  • Si $\Delta < 0$, la recta no intersecta la elipse.

Ejemplo:

  • Elipse: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$
  • Recta: $y = 2x + 1$
    $\frac{x^2}{4} + \frac{(2x + 1)^2}{1} = 1$
    $\frac{x^2}{4} + 4x^2 + 4x + 1 = 1$
    $17x^2 + 4x = 0$
  • Resolviendo: $x(17x + 4) = 0$
  • Soluciones: $x = 0$ y $x = -\frac{4}{17}$
TE RECOMENDAMOS LEER:   1. Introducción a la Geometría Analítica

Puntos de intersección:
$(0, 1)$
$\left( -\frac{4}{17}, \frac{9}{17} \right)$

5.5. Problemas Resueltos y Ejercicios Prácticos

Problema 1:

  • Encuentra la ecuación de la elipse con focos en $(0, 3)$ y $(0, -3)$, y una longitud del eje mayor de 10.

Solución:

  1. Determinar $a$ y $c$:
    $a = 5$
    $c = 3$
    $b^2 = a^2 – c^2 = 25 – 9 = 16$
    $b = 4$
  2. Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor vertical:
    $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$

Problema 2:

  • Determina los puntos de intersección de la elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ y la recta $y = \frac{2}{3}x + 1$.

Solución:

  1. Sustituir la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse:
    $\frac{x^2}{9} + \frac{\left( \frac{2}{3}x + 1 \right)^2}{4} = 1$
    $\frac{x^2}{9} + \frac{\left( \frac{4x^2}{9} + \frac{4x}{3} + 1 \right)}{4} = 1$
    $\frac{x^2}{9} + \frac{4x^2 + 12x + 9}{36} = 1$
    $4x^2 + 12x + 9 = 27$
    $4x^2 + 12x – 18 = 0$
    $2x^2 + 6x – 9 = 0$
  2. Resolver la ecuación cuadrática:
    $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 72}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{108}}{4}$ $= \frac{-6 \pm 6\sqrt{3}}{4} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}}{2}$
  3. Encontrar $y$ sustituyendo los valores de $x$:
  • Para $x = \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2}$:
    $y = \frac{2}{3} \left( \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2} \right) + 1$ $= -1 + \sqrt{3} + 1 = \sqrt{3}$
  • Para $x = \frac{-3 – 3\sqrt{3}}{2}$:
    $y = \frac{2}{3} \left( \frac{-3 – 3\sqrt{3}}{2} \right) + 1$ $= -1 – \sqrt{3} + 1 = -\sqrt{3}$

Puntos de intersección:
$\left( \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3} \right)$
$\left( \frac{-3 – 3\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3} \right)$

De Ingenierías