La elipse es una figura geométrica de gran importancia en diversos campos de la ciencia y la tecnología. ¿Qué tienen en común las órbitas planetarias, los reflectores parabólicos y los antiguos métodos de construcción? La respuesta es la elipse. En geometría analítica, la elipse se estudia mediante ecuaciones que permiten describir y analizar sus propiedades y aplicaciones.
A través de su ecuación estándar, podemos explorar las características de la elipse, como sus ejes, focos y la relación con otras figuras geométricas. Este estudio no solo enriquece nuestra comprensión matemática, sino que también revela la versatilidad de la elipse en problemas prácticos de ingeniería, astronomía y arquitectura. Acompáñanos en este recorrido para descubrir cómo la elipse, con su elegante forma y propiedades únicas, desempeña un papel crucial en la comprensión y aplicación de conceptos geométricos avanzados.
5.1. Definición y Elementos de la Elipse
Definición:
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante.
Elementos de la Elipse:
- Focos ($F_1$ y $F_2$): Dos puntos fijos en el interior de la elipse.
- Centro ($C$): Punto medio del segmento que une los focos.
- Ejes:
- Eje Mayor: Línea que pasa por los focos, la longitud del eje mayor es $2a$.
- Eje Menor: Línea perpendicular al eje mayor en el centro, la longitud del eje menor es $2b$.
- Vértices ($V_1$ y $V_2$): Puntos donde la elipse intercepta el eje mayor.
- Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse.
- Lado Recto ($LR$): Cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por los focos, de longitud $\frac{2b^2}{a}$.
5.2. Ecuación General de la Elipse
Ecuación Estándar de la Elipse:
- Con el eje mayor horizontal:
$\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1$
donde $(h, k)$ es el centro, $a$ es la semilongitud del eje mayor, y $b$ es la semilongitud del eje menor. - Con el eje mayor vertical:
$\frac{(x – h)^2}{b^2} + \frac{(y – k)^2}{a^2} = 1$
donde $(h, k)$ es el centro, $a$ es la semilongitud del eje mayor, y $b$ es la semilongitud del eje menor.
Ejemplo:
- Elipse con centro en $(3, -2)$, $a = 5$, y $b = 3$:
- Ecuación: $\frac{(x – 3)^2}{25} + \frac{(y + 2)^2}{9} = 1$
5.3. Ecuaciones de la Elipse con Centro en el Origen
Elipse con Eje Mayor Horizontal:
- Ecuación: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
Elipse con Eje Mayor Vertical:
- Ecuación: $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
Ejemplo:
- Elipse con $a = 4$ y $b = 2$:
- Ecuación con eje mayor horizontal: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
- Ecuación con eje mayor vertical: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$
5.4. Posiciones Relativas de una Recta y una Elipse
Intersección entre una Recta y una Elipse:
- Ecuación de la Recta: $y = mx + c$
- Ecuación de la Elipse: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
Resolución:
- Sustituir la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse.
- Resolver la ecuación cuadrática resultante.
- Análisis del discriminante ($\Delta$):
- Si $\Delta > 0$, la recta intersecta la elipse en dos puntos.
- Si $\Delta = 0$, la recta es tangente a la elipse.
- Si $\Delta < 0$, la recta no intersecta la elipse.
Ejemplo:
- Elipse: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$
- Recta: $y = 2x + 1$
$\frac{x^2}{4} + \frac{(2x + 1)^2}{1} = 1$
$\frac{x^2}{4} + 4x^2 + 4x + 1 = 1$
$17x^2 + 4x = 0$ - Resolviendo: $x(17x + 4) = 0$
- Soluciones: $x = 0$ y $x = -\frac{4}{17}$
Puntos de intersección:
$(0, 1)$
$\left( -\frac{4}{17}, \frac{9}{17} \right)$
5.5. Problemas Resueltos y Ejercicios Prácticos
Problema 1:
- Encuentra la ecuación de la elipse con focos en $(0, 3)$ y $(0, -3)$, y una longitud del eje mayor de 10.
Solución:
- Determinar $a$ y $c$:
$a = 5$
$c = 3$
$b^2 = a^2 – c^2 = 25 – 9 = 16$
$b = 4$ - Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor vertical:
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
Problema 2:
- Determina los puntos de intersección de la elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ y la recta $y = \frac{2}{3}x + 1$.
Solución:
- Sustituir la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse:
$\frac{x^2}{9} + \frac{\left( \frac{2}{3}x + 1 \right)^2}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + \frac{\left( \frac{4x^2}{9} + \frac{4x}{3} + 1 \right)}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + \frac{4x^2 + 12x + 9}{36} = 1$
$4x^2 + 12x + 9 = 27$
$4x^2 + 12x – 18 = 0$
$2x^2 + 6x – 9 = 0$ - Resolver la ecuación cuadrática:
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 72}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{108}}{4}$ $= \frac{-6 \pm 6\sqrt{3}}{4} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}}{2}$ - Encontrar $y$ sustituyendo los valores de $x$:
- Para $x = \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2}$:
$y = \frac{2}{3} \left( \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2} \right) + 1$ $= -1 + \sqrt{3} + 1 = \sqrt{3}$ - Para $x = \frac{-3 – 3\sqrt{3}}{2}$:
$y = \frac{2}{3} \left( \frac{-3 – 3\sqrt{3}}{2} \right) + 1$ $= -1 – \sqrt{3} + 1 = -\sqrt{3}$
Puntos de intersección:
$\left( \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3} \right)$
$\left( \frac{-3 – 3\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3} \right)$