6. La Parábola

La parábola es una curva que surge como la intersección de un plano y un cono, y tiene numerosas aplicaciones en física, ingeniería y otras ciencias. En geometría analítica, se estudia a través de su ecuación estándar, lo que permite explorar sus propiedades y comportamiento. Esta figura geométrica es fundamental para entender conceptos como los focos y las directrices, así como para resolver problemas relacionados con trayectorias y optimización. En este apartado, profundizaremos en la definición, las características y las aplicaciones de la parábola desde una perspectiva analítica.

4.1. Definición y Elementos de la Parábola

Definición:
Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y una línea fija llamada directriz.

Elementos de la Parábola:

  • Foco (F): Punto fijo sobre el eje de simetría: $F$
  • Directriz: Línea fija perpendicular al eje de simetría: $l$
  • Vértice (V): Punto medio entre el foco y la directriz: $V$
  • Eje de Simetría: Línea que pasa por el foco y el vértice, dividiendo la parábola en dos partes iguales: $e$
  • Lado Recto (LR): Segmento perpendicular al eje de simetría y que pasa por el foco. Su longitud es 4 veces la distancia del vértice al foco ($4p$): $LR$

Ejemplo Visual:

Parábola con vértice en el origen (0,0):

  • Foco: $(0, p)$
  • Directriz: $y = -p$
  • Eje de Simetría: $x = 0$
  • Lado Recto: longitud $4p$
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4.2. Ecuación General de la Parábola

Ecuaciones Estándar de la Parábola:

  • Parábola Horizontal (abre hacia la derecha o izquierda):
    $(y – k)^2 = 4p(x – h)$
    donde $(h, k)$ es el vértice y $p$ es la distancia del vértice al foco.
  • Parábola Vertical (abre hacia arriba o abajo):
    $(x – h)^2 = 4p(y – k)$
    donde $(h, k)$ es el vértice y $p$ es la distancia del vértice al foco.

Ejemplo:

  • Parábola con vértice en $(2, 3)$ y foco en $(2, 5)$:
  • $p = 2$ (ya que la distancia entre el vértice y el foco es 2)
  • Ecuación: $(x – 2)^2 = 8(y – 3)$

4.3. Ecuaciones de la Parábola con Vértice en el Origen

Parábola Vertical:

  • Abre hacia arriba: $y = \frac{1}{4p} x^2$
  • Abre hacia abajo: $y = -\frac{1}{4p} x^2$

Parábola Horizontal:

  • Abre hacia la derecha: $x = \frac{1}{4p} y^2$
  • Abre hacia la izquierda: $x = -\frac{1}{4p} y^2$

Ejemplo:

  • Parábola vertical con vértice en el origen y foco en $(0, 2)$:
  • $p = 2$
  • Ecuación: $y = \frac{1}{8} x^2$

4.4. Posiciones Relativas de una Recta y una Parábola

Intersección entre una Recta y una Parábola:

  • Ecuación de la Recta: $y = mx + b$
  • Ecuación de la Parábola (vertical): $y = ax^2 + bx + c$

Resolución:

  1. Igualar las ecuaciones: $mx + b = ax^2 + bx + c$
  2. Resolver la ecuación cuadrática resultante: $ax^2 + (b – m)x + (c – b) = 0$
  3. Análisis del discriminante ($\Delta = B^2 – 4AC$):
  • Si $\Delta > 0$, la recta intersecta la parábola en dos puntos.
  • Si $\Delta = 0$, la recta es tangente a la parábola.
  • Si $\Delta < 0$, la recta no intersecta la parábola.

Ejemplo:

  • Parábola: $y = x^2$
  • Recta: $y = 2x + 1$
    $x^2 = 2x + 1$
    $x^2 – 2x – 1 = 0$
  • Discriminante: $\Delta = (-2)^2 – 4(1)(-1)$ $= 4 + 4 = 8$
  • Como $\Delta > 0$, la recta intersecta la parábola en dos puntos.
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Problema Resuelto:

Problema 1:

  • Encuentra los puntos de intersección de la parábola $y = x^2 – 4x + 3$ y la recta $y = x + 1$.

Solución:

  1. Igualar las ecuaciones:
    $x^2 – 4x + 3 = x + 1$
    $x^2 – 5x + 2 = 0$
  2. Resolver la ecuación cuadrática:
    $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$
  3. Sustituir $x$ en la ecuación de la recta para encontrar $y$:
  • Para $x = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$:
    $y = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} + 1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$
  • Para $x = \frac{5 – \sqrt{17}}{2}$:
    $y = \frac{5 – \sqrt{17}}{2} + 1 = \frac{7 – \sqrt{17}}{2}$

Puntos de intersección:
$\left( \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \right)$
$\left( \frac{5 – \sqrt{17}}{2}, \frac{7 – \sqrt{17}}{2} \right)$

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