5. La Circunferencia

La circunferencia es una figura geométrica de gran relevancia, presente en la naturaleza y en múltiples aplicaciones tecnológicas y científicas. En geometría analítica, se estudia por sus propiedades matemáticas y su capacidad para proporcionar una comprensión profunda del espacio y las formas.

Mediante ecuaciones precisas, podemos describir cada punto de una circunferencia y analizar sus propiedades fundamentales, como el radio, el diámetro y su relación con otras figuras geométricas. Este análisis enriquece nuestra comprensión matemática y proporciona una base sólida para aplicaciones prácticas en ingeniería, física y arquitectura. Exploraremos cómo la circunferencia, a través de su perfección matemática, se traduce en aplicaciones prácticas y teorías avanzadas.

3.1. Ecuación General de la Circunferencia

Definición:
La ecuación general de una circunferencia en el plano cartesiano se expresa como:
$$Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0$$
donde \(A \neq 0\).

Simplificación a la Forma Estándar:
Para simplificar esta ecuación, dividimos por \(A\) y completamos cuadrados:

1. Dividir por \(A\):

$$x^2 + y^2 + \frac{D}{A}x + \frac{E}{A}y + \frac{F}{A} = 0$$

    2. Completar Cuadrados:

    $x^2 + \frac{D}{A}x + y^2 + \frac{E}{A}y = -\frac{F}{A}$

    $\implies x^2 + \frac{D}{A}x + \left(\frac{D}{2A}\right)^2 – \left(\frac{D}{2A}\right)^2 $ $+ y^2 + \frac{E}{A}y + \left(\frac{E}{2A}\right)^2 – \left(\frac{E}{2A}\right)^2 = -\frac{F}{A}$

    $\implies \left(x + \frac{D}{2A}\right)^2 – \left(\frac{D}{2A}\right)^2$ $+ \left(y + \frac{E}{2A}\right)^2 – \left(\frac{E}{2A}\right)^2 = -\frac{F}{A}$

    $\implies \left(x + \frac{D}{2A}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2A}\right)^2$ $= \frac{D^2 + E^2 – 4AF}{4A^2}$

    Por lo tanto, la ecuación estándar de la circunferencia es:
    $$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$$
    donde \(h = -\frac{D}{2A}\), \(k = -\frac{E}{2A}\), y \(r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2 – 4AF}{4A^2}}\).

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    Ejemplo:

    Dada la ecuación \(2x^2 + 2y^2 – 8x + 12y + 6 = 0\):
    $$x^2 + y^2 – 4x + 6y + 3 = 0$$
    Completemos cuadrados:
    $\left(x^2 – 4x + 4\right) + \left(y^2 + 6y + 9\right)$ $= -3 + 4 + 9$
    $$(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 10$$
    Por lo tanto, la circunferencia tiene centro \((2, -3)\) y radio \(\sqrt{10}\).

    3.2. Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

    Definición:
    La ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia con centro en \((h, k)\) y radio \(r\) es:
    $$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$$

    Propiedades:

    • \(h\) y \(k\) determinan la posición del centro.
    • \(r\) es la distancia desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia.

    Ejemplo:

    • Para una circunferencia con centro \((3, -4)\) y radio \(5\):
      $$(x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$$

    3.3. Posiciones Relativas de una Recta y una Circunferencia

    Casos:

    1. La recta es tangente a la circunferencia:
    • La distancia desde el centro de la circunferencia a la recta es igual al radio.
    • Ecuación de la recta: \(Ax + By + C = 0\)
    • Ecuación de la circunferencia: \((x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2\)
    • La distancia \(d\) desde el centro \((h, k)\) a la recta debe ser igual al radio:
      $$d = \frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r$$
    1. La recta corta a la circunferencia en dos puntos:
    • La distancia desde el centro de la circunferencia a la recta es menor que el radio.
      $$\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} < r$$
    1. La recta no intersecta la circunferencia:
    • La distancia desde el centro de la circunferencia a la recta es mayor que el radio.
      $$\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} > r$$

    Ejemplo:

    • Circunferencia: \((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 9\)
    • Recta: \(2x + 3y – 5 = 0\)
    • Centro: \((1, 2)\)
    • Radio: \(r = 3\)
    • Distancia desde el centro a la recta:
      $d = \frac{|2(1) + 3(2) – 5|}{\sqrt{2^2 + 3^2}}$ $= \frac{|2 + 6 – 5|}{\sqrt{4 + 9}}$ $= \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 0.83$
    • Como \(0.83 < 3\), la recta corta la circunferencia en dos puntos.
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    3.4. Áreas y Longitudes Relacionadas con la Circunferencia

    Área de la Circunferencia:
    $$A = \pi r^2$$
    donde \(r\) es el radio.

    Longitud de la Circunferencia:
    $$L = 2\pi r$$

    Sector Circular:

    • Área de un Sector:
      $$A_{\text{sector}} = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2$$
      donde \(\theta\) es el ángulo central en grados.
    • Longitud del Arco:
      $$L_{\text{arco}} = \frac{\theta}{360^\circ} 2\pi r$$

    Segmento Circular:

    • Área de un Segmento:
      $$A_{\text{segmento}} = \frac{r^2}{2} (\theta – \sin(\theta))$$
      donde \(\theta\) está en radianes.

    Ejemplo:

    • Circunferencia con radio \(5\):
    • Área: \(A = \pi (5)^2 = 25\pi\)
    • Longitud: \(L = 2\pi (5) = 10\pi\)
    • Sector con ángulo de \(60^\circ\):
    • Área del sector:$A_{\text{sector}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi (5)^2$ $= \frac{1}{6} \pi (25)$ $= \frac{25\pi}{6}$
    • Longitud del arco: $L_{\text{arco}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} 2\pi (5)$ $= \frac{1}{6} 10\pi = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$

    3.5. Problemas Resueltos y Ejercicios Prácticos

    Problema 1:

    • Dada la circunferencia \((x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\) y la recta \(3x + 4y – 12 = 0\), determinar si la recta es tangente, secante, o externa a la circunferencia.

    Solución:

    • Centro de la circunferencia: \((2, -3)\)
    • Radio de la circunferencia: \(r = 4\)
    • Distancia del centro a la recta:
      $d = \frac{|3(2) + 4(-3) – 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$ $= \frac{|6 – 12 – 12|}{5} = \frac{|-18|}{5}$ $= \frac{18}{5} = 3.6$
    • Como \(3.6 < 4\), la recta es secante a la circunferencia.

    Problema 2:

    • Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en \((4, -5)\) y pasa por el punto \((7, -1)\).

    Solución:

    Usamos la fórmula de la distancia para encontrar el radio:
    $r = \sqrt{(7 – 4)^2 + (-1 + 5)^2}$ $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16}$ $= \sqrt{25} = 5$

    La ecuación de la circunferencia es:
    $$(x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 25$$

    De Ingenierías