La recta es uno de los conceptos más fundamentales y fascinantes en geometría analítica. A lo largo de la historia, la comprensión y representación de las rectas han sido cruciales para el desarrollo de las matemáticas, la física y muchas otras disciplinas. En geometría analítica, la recta no solo se define visualmente, sino también mediante ecuaciones que describen con precisión su posición y orientación en el plano.
Este enfoque permite resolver problemas complejos de manera más eficiente y ofrece una herramienta poderosa para explorar las propiedades geométricas y sus aplicaciones prácticas. Desde la ecuación general de la recta hasta su representación paramétrica, cada forma nos brinda una perspectiva única y útil. Adentrémonos en el estudio de la recta y descubramos cómo estas líneas simples pero poderosas forman la base de muchas estructuras y teorías matemáticas avanzadas.
2.1. Ecuación General de la Recta
Definición:
La ecuación general de la recta en el plano cartesiano se expresa como:
$$Ax + By + C = 0$$
donde \(A\), \(B\) y \(C\) son constantes y \(A\) y \(B\) no son ambos cero.
Interpretación:
- \(A\) y \(B\) determinan la inclinación y la orientación de la recta.
- \(C\) es el término constante que desplaza la recta respecto al origen.
Propiedades:
- Si \(A = 0\), la recta es horizontal y su ecuación es \(By + C = 0\) (es decir, \(y = -C/B\)).
- Si \(B = 0\), la recta es vertical y su ecuación es \(Ax + C = 0\) (es decir, \(x = -C/A\)).
Ejemplos:
- Recta Horizontal:
- \(0x + 4y + 8 = 0\)
- Simplificando: \(y = -2\)
- Es una recta horizontal que pasa por \(y = -2\).
- Recta Vertical:
- \(3x + 0y – 9 = 0\)
- Simplificando: \(x = 3\)
- Es una recta vertical que pasa por \(x = 3\).
Derivación de la Ecuación General:
Para obtener la ecuación general de una recta a partir de su pendiente \(m\) y un punto \((x_1, y_1)\) por el cual pasa, se puede seguir el siguiente proceso:
- Ecuación Punto-Pendiente:
$$y – y_1 = m(x – x_1)$$ - Convertir a la Forma General:
$$y – y_1 = m(x – x_1)$$
$$y – y_1 = mx – mx_1$$
$$mx – y + y_1 – mx_1 = 0$$
$$mx – y + (y_1 – mx_1) = 0$$ Aquí, \(A = m\), \(B = -1\) y \(C = y_1 – mx_1\).
2.2. Formas de la Ecuación de la Recta
Forma Pendiente-Intersección:
$$y = mx + b$$
donde \(m\) es la pendiente y \(b\) es la intersección con el eje y.
Forma Punto-Pendiente:
$$y – y_1 = m(x – x_1)$$
donde \((x_1, y_1)\) es un punto en la recta y \(m\) es la pendiente.
Forma Segmentaria:
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$
donde \(a\) y \(b\) son las intersecciones de la recta con los ejes x e y, respectivamente.
Conversión entre Formas:
- De la forma general a pendiente-intersección: A partir de \(Ax + By + C = 0\), despejamos \(y\):
$$y = -\frac{A}{B}x – \frac{C}{B}$$
donde \(m = -A/B\) y \(b = -C/B\).
Ejemplos:
- Convertir de Forma General a Pendiente-Intersección:
- Dada la ecuación \(3x – 4y + 8 = 0\):
$$3x – 4y + 8 = 0$$
$$-4y = -3x – 8$$
$$y = \frac{3}{4}x + 2$$
Aquí, \(m = \frac{3}{4}\) y \(b = 2\).
- De Forma Punto-Pendiente a General:
- Dada la ecuación \(y – 2 = 2(x – 1)\):
$$y – 2 = 2(x – 1)$$
$$y – 2 = 2x – 2$$
$$y = 2x$$
$$-2x + y = 0$$
Aquí, \(A = -2\), \(B = 1\), \(C = 0\).
2.3. Pendiente e Inclinación de una Recta
Definición de Pendiente:
La pendiente \(m\) de una recta que pasa por dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) se calcula como:
$$m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$$
Interpretación de la Pendiente:
- Si \(m > 0\), la recta sube al moverse de izquierda a derecha.
- Si \(m < 0\), la recta baja al moverse de izquierda a derecha.
- Si \(m = 0\), la recta es horizontal.
- Si \(m\) es indefinida (división por cero), la recta es vertical.
Inclinación de una Recta:
El ángulo de inclinación \(\theta\) de una recta con respecto al eje x está relacionado con la pendiente mediante:
$$\tan(\theta) = m$$
$$\theta = \arctan(m)$$
Ejemplos:
- Calcular la Pendiente:
- Dado los puntos \((2, 3)\) y \((5, 7)\):
$$m = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3}$$
- Calcular la Inclinación:
- Dada la pendiente \(m = 2\):
$$\theta = \arctan(2) \approx 63.43^\circ$$
2.4. Ángulo entre dos Rectas
Fórmula del Ángulo:
El ángulo \(\theta\) entre dos rectas con pendientes \(m_1\) y \(m_2\) se calcula como:
$$\tan(\theta) = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1m_2} \right|$$
Casos Especiales:
- Si las rectas son perpendiculares, \(m_1m_2 = -1\).
- Si las rectas son paralelas, \(m_1 = m_2\).
Ejemplos:
- Ángulo entre dos Rectas:
- Dadas las rectas \(y = 2x + 1\) y \(y = -\frac{1}{2}x + 3\):
$$m_1 = 2, \quad m_2 = -\frac{1}{2}$$
$\tan(\theta) = \left| \frac{2 – (-\frac{1}{2})}{1 + 2(-\frac{1}{2})} \right|$ $= \left| \frac{2 + \frac{1}{2}}{1 – 1} \right| = \infty$
El ángulo es \(90^\circ\), pues las rectas son perpendiculares.
2.5. Distancia de un Punto a una Recta
Fórmula de la Distancia:
La distancia \(d\) desde un punto \((x_1, y_1)\) a la recta \(Ax + By + C = 0\) se calcula como:
$$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
Derivación:
- Tomar la ecuación de la recta en la forma general.
- Sustituir las coordenadas del punto en la ecuación.
- Aplicar la fórmula para calcular la distancia perpendicular desde el punto a la recta.
Ejemplos:
- Distancia de un Punto a una Recta:
- Punto: \((3, 4)\)
- Recta: \(2x + 3y – 6 = 0\)
$d = \frac{|2(3) + 3(4) – 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}}$ $= \frac{|6 + 12 – 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|12|}{\sqrt{13}}$ $= \frac{12}{\sqrt{13}} \approx 3.32$
2.6. Ejemplos y Aplicaciones Prácticas
Ejemplo 1: Ecuación de la Recta que Pasa por Dos Puntos
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((2, 3)\) y \((4, 7)\).
- Calcular la pendiente:
$$m = \frac{7 – 3}{4 – 2} = \frac{4}{2} = 2$$ - Usar la forma punto-pendiente:
$$y – 3 = 2(x – 2)$$
$$y – 3 = 2x – 4$$
$$y = 2x – 1$$
Ejemplo 2: Distancia de un Punto a una Recta
Calcular la distancia desde el punto \((1, 2)\) a la recta \(3x – 4y + 5 = 0\).
- Usar la fórmula de la distancia:
$d = \frac{|3(1) – 4(2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$ $= \frac{|3 – 8 + 5|}{\sqrt{9 + 16}}$ $= \frac{0}{5} = 0$
Aplicaciones Prácticas:
- Arquitectura y Diseño: Determinación de alineaciones y pendientes en planos de construcción.
- Ingeniería Civil: Cálculo de distancias y ángulos en el diseño de carreteras y puentes.
- Física: Análisis de trayectorias y movimiento rectilíneo.
- Gráficos por Computadora: Representación y manipulación de líneas en la generación de imágenes y animaciones.
Con esto, hemos cubierto a fondo la sección sobre «La Recta».