3. La Recta

La recta es uno de los conceptos más fundamentales y fascinantes en geometría analítica. A lo largo de la historia, la comprensión y representación de las rectas han sido cruciales para el desarrollo de las matemáticas, la física y muchas otras disciplinas. En geometría analítica, la recta no solo se define visualmente, sino también mediante ecuaciones que describen con precisión su posición y orientación en el plano.

Este enfoque permite resolver problemas complejos de manera más eficiente y ofrece una herramienta poderosa para explorar las propiedades geométricas y sus aplicaciones prácticas. Desde la ecuación general de la recta hasta su representación paramétrica, cada forma nos brinda una perspectiva única y útil. Adentrémonos en el estudio de la recta y descubramos cómo estas líneas simples pero poderosas forman la base de muchas estructuras y teorías matemáticas avanzadas.

2.1. Ecuación General de la Recta

Definición:
La ecuación general de la recta en el plano cartesiano se expresa como:
$$Ax + By + C = 0$$
donde \(A\), \(B\) y \(C\) son constantes y \(A\) y \(B\) no son ambos cero.

Interpretación:

  • \(A\) y \(B\) determinan la inclinación y la orientación de la recta.
  • \(C\) es el término constante que desplaza la recta respecto al origen.

Propiedades:

  • Si \(A = 0\), la recta es horizontal y su ecuación es \(By + C = 0\) (es decir, \(y = -C/B\)).
  • Si \(B = 0\), la recta es vertical y su ecuación es \(Ax + C = 0\) (es decir, \(x = -C/A\)).
TE RECOMENDAMOS LEER:   4. Secciones Cónicas

Ejemplos:

  1. Recta Horizontal:
  • \(0x + 4y + 8 = 0\)
  • Simplificando: \(y = -2\)
  • Es una recta horizontal que pasa por \(y = -2\).
  1. Recta Vertical:
  • \(3x + 0y – 9 = 0\)
  • Simplificando: \(x = 3\)
  • Es una recta vertical que pasa por \(x = 3\).

Derivación de la Ecuación General:
Para obtener la ecuación general de una recta a partir de su pendiente \(m\) y un punto \((x_1, y_1)\) por el cual pasa, se puede seguir el siguiente proceso:

  1. Ecuación Punto-Pendiente:
    $$y – y_1 = m(x – x_1)$$
  2. Convertir a la Forma General:
    $$y – y_1 = m(x – x_1)$$
    $$y – y_1 = mx – mx_1$$
    $$mx – y + y_1 – mx_1 = 0$$
    $$mx – y + (y_1 – mx_1) = 0$$ Aquí, \(A = m\), \(B = -1\) y \(C = y_1 – mx_1\).

2.2. Formas de la Ecuación de la Recta

Forma Pendiente-Intersección:
$$y = mx + b$$
donde \(m\) es la pendiente y \(b\) es la intersección con el eje y.

Forma Punto-Pendiente:
$$y – y_1 = m(x – x_1)$$
donde \((x_1, y_1)\) es un punto en la recta y \(m\) es la pendiente.

Forma Segmentaria:
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$
donde \(a\) y \(b\) son las intersecciones de la recta con los ejes x e y, respectivamente.

Conversión entre Formas:

  • De la forma general a pendiente-intersección: A partir de \(Ax + By + C = 0\), despejamos \(y\):
    $$y = -\frac{A}{B}x – \frac{C}{B}$$
    donde \(m = -A/B\) y \(b = -C/B\).

Ejemplos:

  1. Convertir de Forma General a Pendiente-Intersección:
  • Dada la ecuación \(3x – 4y + 8 = 0\):
    $$3x – 4y + 8 = 0$$
    $$-4y = -3x – 8$$
    $$y = \frac{3}{4}x + 2$$
    Aquí, \(m = \frac{3}{4}\) y \(b = 2\).
  1. De Forma Punto-Pendiente a General:
  • Dada la ecuación \(y – 2 = 2(x – 1)\):
    $$y – 2 = 2(x – 1)$$
    $$y – 2 = 2x – 2$$
    $$y = 2x$$
    $$-2x + y = 0$$
    Aquí, \(A = -2\), \(B = 1\), \(C = 0\).
TE RECOMENDAMOS LEER:   8. La Hipérbola

2.3. Pendiente e Inclinación de una Recta

Definición de Pendiente:
La pendiente \(m\) de una recta que pasa por dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) se calcula como:
$$m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$$

Interpretación de la Pendiente:

  • Si \(m > 0\), la recta sube al moverse de izquierda a derecha.
  • Si \(m < 0\), la recta baja al moverse de izquierda a derecha.
  • Si \(m = 0\), la recta es horizontal.
  • Si \(m\) es indefinida (división por cero), la recta es vertical.

Inclinación de una Recta:
El ángulo de inclinación \(\theta\) de una recta con respecto al eje x está relacionado con la pendiente mediante:
$$\tan(\theta) = m$$
$$\theta = \arctan(m)$$

Ejemplos:

  1. Calcular la Pendiente:
  • Dado los puntos \((2, 3)\) y \((5, 7)\):
    $$m = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3}$$
  1. Calcular la Inclinación:
  • Dada la pendiente \(m = 2\):
    $$\theta = \arctan(2) \approx 63.43^\circ$$

2.4. Ángulo entre dos Rectas

Fórmula del Ángulo:
El ángulo \(\theta\) entre dos rectas con pendientes \(m_1\) y \(m_2\) se calcula como:
$$\tan(\theta) = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1m_2} \right|$$

Casos Especiales:

  • Si las rectas son perpendiculares, \(m_1m_2 = -1\).
  • Si las rectas son paralelas, \(m_1 = m_2\).

Ejemplos:

  1. Ángulo entre dos Rectas:
  • Dadas las rectas \(y = 2x + 1\) y \(y = -\frac{1}{2}x + 3\):
    $$m_1 = 2, \quad m_2 = -\frac{1}{2}$$
    $\tan(\theta) = \left| \frac{2 – (-\frac{1}{2})}{1 + 2(-\frac{1}{2})} \right|$ $= \left| \frac{2 + \frac{1}{2}}{1 – 1} \right| = \infty$
    El ángulo es \(90^\circ\), pues las rectas son perpendiculares.

2.5. Distancia de un Punto a una Recta

Fórmula de la Distancia:
La distancia \(d\) desde un punto \((x_1, y_1)\) a la recta \(Ax + By + C = 0\) se calcula como:
$$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

TE RECOMENDAMOS LEER:   2. Lugares Geométricos

Derivación:

  1. Tomar la ecuación de la recta en la forma general.
  2. Sustituir las coordenadas del punto en la ecuación.
  3. Aplicar la fórmula para calcular la distancia perpendicular desde el punto a la recta.

Ejemplos:

  1. Distancia de un Punto a una Recta:
  • Punto: \((3, 4)\)
  • Recta: \(2x + 3y – 6 = 0\)
    $d = \frac{|2(3) + 3(4) – 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}}$ $= \frac{|6 + 12 – 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|12|}{\sqrt{13}}$ $= \frac{12}{\sqrt{13}} \approx 3.32$

2.6. Ejemplos y Aplicaciones Prácticas

Ejemplo 1: Ecuación de la Recta que Pasa por Dos Puntos
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((2, 3)\) y \((4, 7)\).

  1. Calcular la pendiente:
    $$m = \frac{7 – 3}{4 – 2} = \frac{4}{2} = 2$$
  2. Usar la forma punto-pendiente:
    $$y – 3 = 2(x – 2)$$
    $$y – 3 = 2x – 4$$
    $$y = 2x – 1$$

Ejemplo 2: Distancia de un Punto a una Recta
Calcular la distancia desde el punto \((1, 2)\) a la recta \(3x – 4y + 5 = 0\).

  1. Usar la fórmula de la distancia:
    $d = \frac{|3(1) – 4(2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$ $= \frac{|3 – 8 + 5|}{\sqrt{9 + 16}}$ $= \frac{0}{5} = 0$

Aplicaciones Prácticas:

  • Arquitectura y Diseño: Determinación de alineaciones y pendientes en planos de construcción.
  • Ingeniería Civil: Cálculo de distancias y ángulos en el diseño de carreteras y puentes.
  • Física: Análisis de trayectorias y movimiento rectilíneo.
  • Gráficos por Computadora: Representación y manipulación de líneas en la generación de imágenes y animaciones.

Con esto, hemos cubierto a fondo la sección sobre «La Recta».

De Ingenierías