2. Lugares Geométricos

9.1. Definición y Ejemplos de Lugares Geométricos

Definición:
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada condición o propiedad geométrica. En otras palabras, es una colección de puntos que satisfacen una relación específica en el espacio.

Ejemplos de Lugares Geométricos:

1. Circunferencia:

• Condición: Conjunto de todos los puntos que están a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro).
• Ejemplo: Todos los puntos $P(x, y)$ que están a 5 unidades del punto $C(2, 3)$.
• Ecuación: $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 25$.

1. Elipse:

• Condición: Conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
• Ejemplo: Todos los puntos $P(x, y)$ para los cuales la suma de las distancias a $F_1(-2, 0)$ y $F_2(2, 0)$ es 6.
• Ecuación: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$.

1. Parábola:

• Condición: Conjunto de puntos que están a igual distancia de un punto fijo (foco) y una línea fija (directriz).
• Ejemplo: Todos los puntos $P(x, y)$ que están a igual distancia del punto $F(3, 0)$ y la línea $x = -1$.
• Ecuación: $y^2 = 4px$.

1. Hipérbola:

• Condición: Conjunto de puntos donde la diferencia de las distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
• Ejemplo: Todos los puntos $P(x, y)$ para los cuales la diferencia de las distancias a $F_1(-3, 0)$ y $F_2(3, 0)$ es 4.
• Ecuación: $\frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{5} = 1$.

1. Recta:

• Condición: Conjunto de todos los puntos que están alineados según una pendiente y una intersección y definida.
• Ejemplo: Todos los puntos $P(x, y)$ que cumplen con la ecuación de la recta $y = 2x + 1$.
• Ecuación: $y = mx + b$.

9.2. Ecuaciones de Lugares Geométricos

1. Circunferencia:

• Ecuación Estándar:
  $$
  (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2
  $$
  donde $(h, k)$ es el centro y $r$ es el radio.
• Ecuación General:
  $$
  x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
  $$
  La ecuación se puede convertir a la forma estándar completando cuadrados.

2. Elipse:

• Ecuación Estándar (Centro en el Origen):
  $$
  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
  $$
  donde $a$ es el semieje mayor y $b$ es el semieje menor.
• Ecuación Estándar (Centro en $(h, k)$):
  $$
  \frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1
  $$

3. Parábola:

• Ecuación Estándar (Vértice en el Origen, Eje Horizontal):
  $$
  y^2 = 4px
  $$
  donde $p$ es la distancia del vértice al foco.
• Ecuación Estándar (Vértice en $(h, k)$, Eje Horizontal):
  $$
  (y – k)^2 = 4p(x – h)
  $$
• Ecuación Estándar (Eje Vertical):
  $$
  x^2 = 4py
  $$

4. Hipérbola:

• Ecuación Estándar (Centro en el Origen):
  $$
  \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1
  $$
  donde $a$ y $b$ son las distancias de los vértices y el semi-eje transversal respectivamente.
• Ecuación Estándar (Centro en $(h, k)$):
  $$
  \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1
  $$

5. Recta:

• Ecuación General:
  $$
  Ax + By + C = 0
  $$
  donde $A$, $B$, y $C$ son constantes.
• Ecuación Pendiente-Intersección:
  $$
  y = mx + b
  $$
  donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con el eje $y$.

Ejemplo Práctico:

Problema:
Encuentra el lugar geométrico de todos los puntos $P(x, y)$ que están a igual distancia del punto $A(2, 3)$ y de la línea $y = -1$.

Solución:

1. Condición de Distancia:
   
   Distancia de $P(x, y)$ a $A(2, 3) =$ Distancia de $P(x, y)$ a la línea $y = -1
   $
2. Distancia al Punto $A(2, 3)$:
   $$
   \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 3)^2}
   $$
3. Distancia a la Línea $y = -1$:
   $$
   |y + 1|
   $$
4. Igualar Distancias:
   $$
   \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 3)^2} = |y + 1|
   $$
5. Al Cuadrado:
   $$
   (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = (y + 1)^2
   $$
6. Simplificar:
   $
   (x – 2)^2 + y^2 – 6y + 9$ $= y^2 + 2y + 1
   $
   $$
   (x – 2)^2 – 8y + 8 = 0
   $$
7. Ecuación del Lugar Geométrico:
   $$
   (x – 2)^2 = 8(y – 1)
   $$
   Esta es la ecuación de una parábola con vértice en $(2, 1)$.

Este es un ejemplo típico de cómo se puede determinar el lugar geométrico de un conjunto de puntos que cumplen una condición específica.