El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales. Su aplicación es amplia y diversa, abarcando campos como la física, la ingeniería, la economía, la computación y la ciencia de datos, entre otros.
En este curso, comenzaremos con los conceptos básicos del Álgebra Lineal, para luego avanzar de manera progresiva y estructurada hacia temas más complejos. Nuestro objetivo es que al finalizar el curso, ustedes cuenten con una sólida base en la materia y sean capaces de aplicar sus conocimientos en el ámbito académico y profesional.
Curso de Álgebra Lineal
1. Introducción al Álgebra Lineal
« AnteriorSiguiente »1.1 Definición e importancia del álgebra lineal Definición: El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia los vectores, los espacios…
2. Vectores
« AnteriorSiguiente »2.1 Definición y notación Definición: Un vector es una entidad matemática que tiene magnitud (longitud) y dirección. Los vectores se utilizan para representar…
3. Espacios Vectoriales
« AnteriorSiguiente »3. Espacios Vectoriales 3.1 Definición de espacio vectorial Definición: Un espacio vectorial (o espacio lineal) es un conjunto de elementos llamados vectores, junto…
4. Matrices
« AnteriorSiguiente » 4.1 Definición y notación de matrices Definición:Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, dispuestos en filas y columnas.…
5. Determinantes
« AnteriorSiguiente »Los determinantes son una herramienta fundamental en álgebra lineal, ya que permiten caracterizar muchas propiedades de las matrices y los sistemas de ecuaciones…
6. Sistemas de Ecuaciones Lineales
« AnteriorSiguiente »Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de ecuaciones que se resuelven conjuntamente para encontrar las incógnitas comunes. Son fundamentales en álgebra lineal…
7. Espacios Vectoriales Euclidianos
« AnteriorSiguiente »Los espacios vectoriales euclidianos son un tipo especial de espacio vectorial que está equipado con una estructura geométrica adicional, permitiendo la definición de…
8. Transformaciones Lineales
« AnteriorSiguiente »Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que preservan la estructura de estos espacios. Son fundamentales en álgebra lineal porque permiten el…
9. Autovalores y Autovectores
« AnteriorSiguiente »Los autovalores y autovectores son conceptos fundamentales en álgebra lineal que nos permiten entender mejor las propiedades de las transformaciones lineales y las…
10. Formas Cuadráticas
« AnteriorSiguiente »Las formas cuadráticas son expresiones algebraicas que aparecen en muchos contextos de la matemática y sus aplicaciones, como en la optimización, la teoría…
11. Espacios Vectoriales con Producto Interior
« AnteriorSiguiente »Los espacios vectoriales con producto interior, también conocidos como espacios con producto escalar, son fundamentales en álgebra lineal y tienen aplicaciones en diversas…
12. Teorema Espectral
« AnteriorSiguiente »El teorema espectral es una piedra angular en el estudio de álgebra lineal y análisis funcional, con aplicaciones importantes en diversas áreas de…
13. Aplicaciones Avanzadas del Álgebra Lineal
« AnteriorSiguiente »El álgebra lineal es una herramienta fundamental que encuentra aplicaciones en una amplia gama de campos científicos y de ingeniería. A continuación, se…
14. Problemas y Ejercicios
« AnteriorSiguiente »La práctica es fundamental para consolidar los conceptos de álgebra lineal. En esta sección, se presentan problemas resueltos, ejercicios propuestos y proyectos prácticos…
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Temas de álgebra lineal
1. Espacios Vectoriales en General
- Definición y ejemplos.
- Subespacios, sus propiedades.
- Suma y suma directa.
- Independiente lineal, base y dimensión.
- Producto interno.
- Bases ortogonales; ortogonalización de Gram-Schmidt.
- Aplicación a la Geometría (Distancia de un punto a una variedad lineal.
- Distancia entre dos rectas). El espacio cociente.
2. Transformaciones Lineales y Matrices
- Definición y ejemplos.
- Teorema fundamental de las transformaciones lineales y sus consecuencias.
- Álgebra de las transformaciones lineales.
- Espacio de las transformaciones lineales.
- Espacio dual.
- Transpuesta de una transformación lineal.
- Base dual.
- Matrices.
- Matrices elementales.
- Cálculo de la inversa.
- Cálculo de la inversa mediante operaciones elementales.
- Matriz escalonada reducida.
- Equivalencias por filas.
- Base canónica.
- Sistemas de ecuaciones lineales.
- Sistemas homogéneos.
- Sistemas no homogéneos.
- Sistemas inconsistentes.
- Matriz asociada a una matriz.
- Matriz de cambio de base.
- Matrices semejantes.
- Teorema del rango.
3. Determinantes Función determinante.
- Existencia y Unicidad del determinante.
- Propiedades.
- Cálculo del determinante y determinante de una transformación lineal.
- Cofactores, menores y adjuntos.
- Determinante y rango de una matriz.
- Aplicaciones.
- Gramiano.
4. Espacios Productos Interno Definición.
- Ejemplos.
- Distancias y normas. Ejemplos.
- Propiedades. Isometrías. Ejemplos. Propiedades.
- Ortogonalidad. Conjuntos ortogonales. Ejemplos. Propiedades.
- Teorema de Proyección.
- Teorema de representación.
5. Formas Canónicas Valores y Vectores propios.
- Triangulación de matrices.
- El teorema de Cayley-Hamilton.
- Criterios de diagonalización Matrices nilpotentes.
- Forma canónica de Jordan.
- Exponencial de una matriz.
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