III. Integral Definida

La integral definida es una de las herramientas más poderosas y versátiles del cálculo integral. A través de ella, podemos cuantificar y medir cantidades que varían de manera continua, abriendo un mundo de posibilidades en campos tan diversos como la física, la ingeniería, la economía y muchos más. Estas integrales nos permiten calcular áreas bajo curvas, volúmenes de sólidos irregulares, centros de masa, trabajos realizados por fuerzas variables y una amplia gama de aplicaciones prácticas.

Pero más allá de su utilidad, el concepto de la integral definida es una verdadera obra maestra del pensamiento matemático, una idea profunda y elegante que nos invita a explorar los límites del infinito y a comprender la naturaleza misma del cambio continuo. Adéntrese en este emocionante viaje a través del cálculo integral y descubra cómo una simple notación puede desbloquear secretos ocultos del universo.

Concepto y Notación

La integral definida de una función $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$ se define como el límite de una suma de áreas de rectángulos que aproximan el área bajo la curva de $f(x)$ desde $a$ hasta $b$. La notación estándar para la integral definida es:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

Donde $a$ y $b$ son los límites de integración, $f(x)$ es la función integranda y $dx$ indica que la integración se realiza respecto a $x$.

Propiedades de las Integrales Definidas

Linealidad

La integral definida es una operación lineal, lo que significa que satisface las siguientes propiedades para cualquier constante $c$ y funciones $f(x)$ y $g(x)$:

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$\int_{a}^{b} [cf(x) + g(x)] \, dx$ $= c \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx$

Aditividad

La integral definida de una función en un intervalo dividido en dos subintervalos es la suma de las integrales en cada subintervalo:

$\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$ $= \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

Simetría

Si $f(x)$ es una función continua y simétrica respecto a $x = a$, es decir, $f(a + x) = f(a – x)$, entonces:

$$\int_{a – b}^{a + b} f(x) \, dx = 2 \int_{a}^{a + b} f(x) \, dx$$

Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la diferenciación y la integración, y consta de dos partes fundamentales:

Parte I: Relación entre Derivada e Integral

Si $f$ es una función continua en $[a, b]$ y $F$ es una antiderivada de $f$ en $[a, b]$, entonces:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a)$$

Esto establece que la integral definida de $f$ desde $a$ hasta $b$ es igual a la diferencia entre los valores de $F$ en $b$ y $a$.

Parte II: Evaluación de Integrales Definidas

Si $f$ es una función continua en $[a, b]$, entonces la función $F$ definida por:

$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$$

es continua en $[a, b]$, diferenciable en $(a, b)$, y $F'(x) = f(x)$. Esto muestra que la derivada de la integral de $f$ desde $a$ hasta $x$ es $f(x)$.

Métodos de Evaluación de Integrales Definidas

Integración por Sustitución

La sustitución es una técnica que implica cambiar la variable de integración para simplificar la integral. Si hacemos una sustitución $u = g(x)$, entonces $du = g'(x) dx$. La integral se transforma y se evalúa en términos de la nueva variable.

Ejemplo:

$$\int_{0}^{1} 2x \sqrt{1 – x^2} \, dx$$

Hacemos la sustitución $u = 1 – x^2$, entonces $du = -2x \, dx$. Cambiamos los límites de integración: cuando $x = 0$, $u = 1$, y cuando $x = 1$, $u = 0$.

La integral se transforma en:

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \, (-du)$ $= \int_{0}^{1} \sqrt{u} \, du$ $= \frac{2}{3} u^{3/2} \bigg|_{0}^{1}$ $= \frac{2}{3} (1 – 0) = \frac{2}{3}$

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Integración por Partes

La integración por partes se basa en la regla del producto para la derivada. Se usa cuando el integrando es un producto de dos funciones. La fórmula es:

$$\int u \, dv = uv – \int v \, du$$

Ejemplo:

$$\int_{0}^{1} x e^x \, dx$$

Elegimos $u = x$ y $dv = e^x \, dx$. Entonces, $du = dx$ y $v = e^x$.

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$$\int_{0}^{1} x e^x dx$$

$$= \left[ xe^{x} \right]_{0}^{1} – \int_{0}^{1} e^x \, dx $$

$$= \left[ xe^{x} \right]_{0}^{1} – \left[ e^x \right]_{0}^{1} $$

Evaluamos en los límites:

$$= (1 e^1 – 0 e^0) – (e^1 – e^0) = e – 1$$

Aplicaciones de la Integral Definida

Cálculo de Áreas Bajo Curvas

El área bajo la curva de una función $f(x)$ desde $a$ hasta $b$ se calcula utilizando la integral definida:

$$\text{Área} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

Ejemplo:

El área bajo la parábola $y = x^2$ desde $x = 0$ hasta $x = 1$:

$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} – 0 = \frac{1}{3}$$

Cálculo de Áreas Entre Curvas

Para calcular el área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ desde $a$ hasta $b$, se utiliza la integral definida de la diferencia entre las funciones:

$$\text{Área} = \int_{a}^{b} [f(x) – g(x)] \, dx$$

Ejemplo:

El área entre las curvas $y = x^2$ y $y = x$ desde $x = 0$ hasta $x = 1$:

$\int_{0}^{1} (x – x^2) \, dx$ $= \left[ \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$ $= \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) – (0 – 0) = \frac{1}{6}$

Volúmenes de Sólidos de Revolución

Para calcular el volumen de un sólido de revolución generado al rotar una curva alrededor de un eje, se utilizan los métodos de disco y arandela.

Método de Disco:

Si una región se rota alrededor del eje $x$, el volumen $V$ se calcula como:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$

Método de Arandela:

Si hay un agujero en el sólido, el volumen $V$ se calcula como:

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$$V = \pi \int_{a}^{b} \left([f(x)]^2 – [g(x)]^2\right) \, dx$$

Ejemplo (Método de Disco):

El volumen del sólido generado por la rotación de la parábola $y = \sqrt{x}$ desde $x = 0$ hasta $x = 1$:

$V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 \, dx$ $= \pi \int_{0}^{1} x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$ $= \pi \left( \frac{1}{2} – 0 \right) = \frac{\pi}{2}$

Longitud de Curvas

La longitud de una curva $y = f(x)$ desde $x = a$ hasta $x = b$ se calcula utilizando la integral definida de la siguiente forma:

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$$

Ejemplo:

La longitud de la curva $y = \sqrt{x}$ desde $x = 0$ hasta $x = 1$:

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \sqrt{x}\right)^2} \, dx$ $= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2} \, dx$

Simplificando y resolviendo la integral, se obtiene:

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} \, dx$ $= \left[ \frac{2}{3} \left(1 + \frac{1}{4x}\right)^{3/2} \right]_{0}^{1}$ $= \frac{2}{3} \left( \sqrt{5} – 1 \right) \approx 1.0355$

Para simplificar esta integral, es posible que necesitemos un método numérico o una transformación más avanzada, pero la fórmula básica para la longitud de la curva ya nos da una idea del proceso.

Trabajo y Energía en Física

La integral definida se usa en física para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable. Si una fuerza ( F(x) ) actúa a lo largo de un desplazamiento de ( x = a ) a ( x = b ), el trabajo ( W ) se calcula como:

$$ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx $$

Ejemplo:

Si una fuerza ( F(x) = 2x ) actúa sobre un objeto desde ( x = 1 ) hasta ( x = 3 ):

$W = \int_{1}^{3} 2x \, dx = 2 \int_{1}^{3} x \, dx$ $= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \left( \frac{9}{2} – \frac{1}{2} \right) = 4 $

Promedios y Valor Promedio de una Función

El valor promedio de una función ( f(x) ) en el intervalo ([a, b]) se calcula usando la integral definida:

$$ f_{\text{prom}} = \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$

Ejemplo:

El valor promedio de la función ( f(x) = x^2 ) desde ( x = 0 ) hasta ( x = 2 ):

$ f_{\text{prom}} = \frac{1}{2 – 0} \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$ $= \frac{1}{2} \left( \frac{8}{3} – 0 \right) = \frac{4}{3} $

Estas son algunas de las principales aplicaciones de la integral definida en el cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas, fundamentales en matemáticas, física e ingeniería.

Estos conceptos y métodos forman una base sólida para trabajar con integrales definidas y sus numerosas aplicaciones. A continuación, podemos continuar con ejemplos específicos y aplicaciones más complejas de cada uno de estos métodos para profundizar aún más en el tema.

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