II. Integral Indefinida

¿Alguna vez has pensado en el vínculo fundamental que existe entre los conceptos aparentemente diferentes de encontrar la pendiente de una curva y calcular el área bajo ella? La integral indefinida es la pieza clave que une estos dos mundos. Esta operación inversa de la derivada nos permite deshacer el proceso de encontrar la pendiente y reconstruir la función original a partir de su razón de cambio.

Pero la integral indefinida no se limita solo a eso. Es una poderosa herramienta algebraica que nos permite resolver ecuaciones diferenciales, analizar el comportamiento de sistemas dinámicos y desentrañar los misterios de la física teórica. Desde el movimiento de los planetas hasta el flujo de electricidad, las integrales indefinidas son el lenguaje universal que describe los cambios en nuestro mundo. Adéntrate en este emocionante viaje y descubre cómo un simple símbolo, ∫, puede desbloquear los secretos del universo.

Concepto y Notación

La integral indefinida, también conocida como antiderivada, es una operación matemática que consiste en encontrar una función $F(x)$ cuya derivada es $f(x)$. Se denota como $\int f(x) \, dx$, donde $f(x)$ es la función integranda y $dx$ indica que la integración se realiza respecto a $x$. El resultado de la integral indefinida incluye una constante de integración $C$ porque la derivada de una constante es cero.

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$$ \int f(x) \, dx = F(x) + C $$

Propiedades de las Integrales Indefinidas

Linealidad

La integral indefinida es una operación lineal, lo que significa que satisface las siguientes propiedades para cualquier constante $a$ y $b$:

$ \int [a f(x) + b g(x)] \, dx$ $= a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx$

Esta propiedad permite descomponer integrales complejas en integrales más simples.

Integración de Sumas y Diferencias

La integral de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de sus integrales:

$ \int [f(x) \pm g(x)] \, dx$ $= \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx $

Esta propiedad facilita la integración de expresiones algebraicas.

Integración por Partes

Fórmula

La integración por partes es una técnica basada en la regla del producto para la derivada. Se utiliza cuando el integrando es un producto de dos funciones y se expresa como:

$$ \int u \, dv = uv – \int v \, du $$

donde $u$ y $dv$ son partes del integrando que elegimos de manera adecuada para simplificar la integral.

Ejemplos y Aplicaciones

Ejemplo 1:

$$ \int x e^x \, dx $$

Aquí, elegimos $u = x$ y $dv = e^x \, dx$. Entonces, $du = dx$ y $v = e^x$.

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$ \int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx$ $= x e^x – e^x + C$ $= e^x (x – 1) + C $

Ejemplo 2:

$$ \int \ln(x) \, dx $$

Aquí, elegimos $u = \ln(x)$ y $dv = dx$. Entonces, $du = \frac{1}{x} \, dx$ y $v = x$.

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$ $= x \ln(x) – \int 1 \, dx$ $= x \ln(x) – x + C $

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Integración por Sustitución

Método de Sustitución Simple

La sustitución simple es una técnica de integración que se basa en el cambio de variable para simplificar la integral. Si podemos expresar el integrando en términos de una nueva variable $u$, realizamos la sustitución y luego integramos.

Ejemplo:

$$ \int 2x \sqrt{1 + x^2} \, dx $$

Hacemos la sustitución $u = 1 + x^2$, por lo que $du = 2x \, dx$.

La integral se transforma en:

$ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du$ $= \frac{2}{3} u^{3/2} + C$ $= \frac{2}{3} (1 + x^2)^{3/2} + C $

Sustituciones Trigonométricas

Las sustituciones trigonométricas son útiles para integrar funciones que involucran raíces cuadradas de expresiones cuadráticas. Hay tres casos principales:

  1. $\sqrt{a^2 – x^2}$ con $x = a \sin(\theta)$
  2. $\sqrt{a^2 + x^2}$ con $x = a \tan(\theta)$
  3. $\sqrt{x^2 – a^2}$ con $x = a \sec(\theta)$

Ejemplo:

$$ \int \sqrt{1 – x^2} \, dx $$

Usamos la sustitución $x = \sin(\theta)$, por lo que $dx = \cos(\theta) \, d\theta$.

La integral se transforma en:

$ \int \sqrt{1 – \sin^2(\theta)} \cos(\theta) \, d\theta$ $= \int \cos^2(\theta) \, d\theta $

Usamos la identidad trigonométrica $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$:

$$ \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta$$

$$ = \frac{1}{2} \int 1 \, d\theta + \frac{1}{2} \int \cos(2\theta) \, d\theta $$

$$ = \frac{\theta}{2} + \frac{1}{4} \sin(2\theta) + C $$

Volvemos a la variable original:

$$ \frac{\sin^{-1}(x)}{2} + \frac{1}{4} \sin(2 \sin^{-1}(x)) + C $$

Integración de Funciones Racionales

Fracciones Parciales

La descomposición en fracciones parciales es una técnica que se usa para integrar funciones racionales, es decir, cocientes de polinomios. Se descompone la función racional en una suma de fracciones más simples que se pueden integrar fácilmente.

Ejemplo:

$$ \int \frac{2x + 3}{(x + 1)(x – 2)} \, dx $$

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Descomponemos en fracciones parciales:

$$ \frac{2x + 3}{(x + 1)(x – 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x – 2} $$

Multiplicamos ambos lados por el denominador común:

$$ 2x + 3 = A(x – 2) + B(x + 1) $$

Resolvemos para $A$ y $B$:

$$ A = 1, \, B = 1 $$

Por lo tanto:

$ \int \frac{2x + 3}{(x + 1)(x – 2)} \, dx$ $= \int \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x – 2} \right) \, dx $$

$ = \ln|x + 1| + \ln|x – 2| + C$ $= \ln| (x + 1)(x – 2) | + C $

Integración de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

La integración de funciones exponenciales y logarítmicas involucra reglas específicas para estas funciones.

Ejemplo 1:

$$ \int e^x \, dx = e^x + C $$

Ejemplo 2:

$$ \int \ln(x) \, dx $$

Usamos integración por partes con $u = \ln(x)$ y $dv = dx$:

$ \int \ln(x) \, dx$ $= x \ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$ $= x \ln(x) – x + C $

Integración de Funciones Trigonométricas y sus Inversas

Para integrar funciones trigonométricas, se usan identidades y métodos específicos.

Ejemplo:

$$ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C $$

Para las funciones inversas, se utilizan técnicas como integración por partes.

Ejemplo:

$$ \int \arcsin(x) \, dx $$

Usamos integración por partes con $u = \arcsin(x)$ y $dv = dx$:

$ \int \arcsin(x) \, dx$ $= x \arcsin(x) – \int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx $$

Hacemos la sustitución $u = 1 – x^2$:

$$ = x \arcsin(x) + \sqrt{1 – x^2} + C $$

Integración de Funciones Hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas tienen integrales similares a las funciones trigonométricas.

Ejemplo:

$$ \int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C $$

Ejemplo:

$$ \int \cosh(x) \, dx = \sinh(x) + C $$

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