Los autovalores y autovectores son conceptos fundamentales en álgebra lineal que nos permiten entender mejor las propiedades de las transformaciones lineales y las matrices.
9.1 Definición de autovalores y autovectores
- Autovalores: Un escalar $\lambda$ es un autovalor de una matriz $A$ si existe un vector no nulo $\mathbf{v}$ tal que:
$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ - Autovectores: Un vector $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ es un autovector de la matriz $A$ correspondiente al autovalor $\lambda$ si:
$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
En otras palabras, aplicar la matriz $A$ al vector $\mathbf{v}$ tiene el mismo efecto que multiplicar $\mathbf{v}$ por el escalar $\lambda$.
Ejemplo:
Consideremos la matriz $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Si $\lambda$ es un autovalor y $\mathbf{v}$ es un autovector correspondiente, entonces:
$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
9.2 Cálculo de autovalores y autovectores
Para encontrar los autovalores y autovectores de una matriz $A$:
- Autovalores:
- Se resuelve la ecuación característica:
$\text{det}(A – \lambda I) = 0$
donde $I$ es la matriz identidad de la misma dimensión que $A$, y $\text{det}$ denota el determinante.
- Autovectores:
- Para cada autovalor $\lambda$, se resuelve el sistema de ecuaciones lineales:
$(A – \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$
Ejemplo:
Para $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$:
Autovalores:
$\text{det}\left( \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} – \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)$
$ = \text{det}\left( \begin{pmatrix} 4 – \lambda & 1 \\ 2 & 3 – \lambda \end{pmatrix} \right) $
$= (4 – \lambda)(3 – \lambda) – 2 \cdot 1 $
$= \lambda^2 – 7\lambda + 10$ Resolviendo $\lambda^2 – 7\lambda + 10 = 0$, obtenemos los autovalores $\lambda_1 = 5$ y $\lambda_2 = 2$.
Autovectores:
Para $\lambda_1 = 5$:
$(A – 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$
$\begin{pmatrix} 4 – 5 & 1 \\ 2 & 3 – 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$
$ = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Solución: $v_1 = v_2$, por lo que un autovector es $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Para $\lambda_2 = 2$:
$(A – 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$
$\begin{pmatrix} 4 – 2 & 1 \\ 2 & 3 – 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$
$ = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Solución: $v_1 = -v_2/2$, por lo que un autovector es $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
9.3 Diagonalización de matrices
Una matriz $A$ es diagonalizable si existe una matriz invertible $P$ y una matriz diagonal $D$ tales que:
$A = PDP^{-1}$
Donde las columnas de $P$ son los autovectores de $A$ y los elementos diagonales de $D$ son los autovalores correspondientes.
Proceso de diagonalización:
- Encuentra los autovalores $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ de $A$.
- Encuentra los autovectores correspondientes $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$.
- Forma la matriz $P$ con los autovectores como columnas.
- Forma la matriz $D$ con los autovalores en la diagonal.
Ejemplo:
Para $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, con autovalores $\lambda_1 = 5$ y $\lambda_2 = 2$, y autovectores $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$:
$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Verificamos que:
$A = PDP^{-1}$
9.4 Aplicaciones de autovalores y autovectores
Los autovalores y autovectores tienen numerosas aplicaciones en diversas disciplinas. Algunas de las más destacadas son:
- Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales: Utilizando autovalores y autovectores, se pueden resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, lo cual es útil en física, ingeniería y otras ciencias.
- Análisis de estabilidad: En dinámica de sistemas, los autovalores del Jacobiano en puntos de equilibrio determinan la estabilidad del sistema.
- Transformaciones lineales: Los autovalores y autovectores permiten entender cómo una transformación lineal afecta a un espacio vectorial, facilitando la diagonalización y simplificación de problemas.
- Compresión de datos: En análisis de componentes principales (PCA), los autovalores y autovectores de la matriz de covarianza se utilizan para reducir la dimensionalidad de los datos.
Ejemplo de aplicación:
En PCA, se desea proyectar datos multidimensionales en un espacio de menor dimensión preservando la mayor varianza posible. Esto se logra mediante la descomposición espectral de la matriz de covarianza y la selección de los autovalores y autovectores principales.
Esta sección cubre los conceptos de autovalores y autovectores, incluyendo su definición, cálculo, diagonalización de matrices y aplicaciones, con explicaciones detalladas y ejemplos ilustrativos.