9. Autovalores y Autovectores

Los autovalores y autovectores son conceptos fundamentales en álgebra lineal que nos permiten entender mejor las propiedades de las transformaciones lineales y las matrices.

9.1 Definición de autovalores y autovectores

  • Autovalores: Un escalar $\lambda$ es un autovalor de una matriz $A$ si existe un vector no nulo $\mathbf{v}$ tal que:
    $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
  • Autovectores: Un vector $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ es un autovector de la matriz $A$ correspondiente al autovalor $\lambda$ si:
    $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

En otras palabras, aplicar la matriz $A$ al vector $\mathbf{v}$ tiene el mismo efecto que multiplicar $\mathbf{v}$ por el escalar $\lambda$.

Ejemplo:

Consideremos la matriz $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Si $\lambda$ es un autovalor y $\mathbf{v}$ es un autovector correspondiente, entonces:
$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

9.2 Cálculo de autovalores y autovectores

Para encontrar los autovalores y autovectores de una matriz $A$:

  1. Autovalores:
  • Se resuelve la ecuación característica:
    $\text{det}(A – \lambda I) = 0$
    donde $I$ es la matriz identidad de la misma dimensión que $A$, y $\text{det}$ denota el determinante.
  1. Autovectores:
  • Para cada autovalor $\lambda$, se resuelve el sistema de ecuaciones lineales:
    $(A – \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$

Ejemplo:

Para $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$:

Autovalores:

Autovectores:

Para $\lambda_1 = 5$:

$(A – 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$

$\begin{pmatrix} 4 – 5 & 1 \\ 2 & 3 – 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$

$ = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Solución: $v_1 = v_2$, por lo que un autovector es $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Para $\lambda_2 = 2$:

$(A – 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$

$\begin{pmatrix} 4 – 2 & 1 \\ 2 & 3 – 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$

$ = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Solución: $v_1 = -v_2/2$, por lo que un autovector es $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

9.3 Diagonalización de matrices

Una matriz $A$ es diagonalizable si existe una matriz invertible $P$ y una matriz diagonal $D$ tales que:
$A = PDP^{-1}$

Donde las columnas de $P$ son los autovectores de $A$ y los elementos diagonales de $D$ son los autovalores correspondientes.

Proceso de diagonalización:

  1. Encuentra los autovalores $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ de $A$.
  2. Encuentra los autovectores correspondientes $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$.
  3. Forma la matriz $P$ con los autovectores como columnas.
  4. Forma la matriz $D$ con los autovalores en la diagonal.

Ejemplo:

Para $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, con autovalores $\lambda_1 = 5$ y $\lambda_2 = 2$, y autovectores $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$:

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Verificamos que:
$A = PDP^{-1}$

9.4 Aplicaciones de autovalores y autovectores

Los autovalores y autovectores tienen numerosas aplicaciones en diversas disciplinas. Algunas de las más destacadas son:

  • Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales: Utilizando autovalores y autovectores, se pueden resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, lo cual es útil en física, ingeniería y otras ciencias.
  • Análisis de estabilidad: En dinámica de sistemas, los autovalores del Jacobiano en puntos de equilibrio determinan la estabilidad del sistema.
  • Transformaciones lineales: Los autovalores y autovectores permiten entender cómo una transformación lineal afecta a un espacio vectorial, facilitando la diagonalización y simplificación de problemas.
  • Compresión de datos: En análisis de componentes principales (PCA), los autovalores y autovectores de la matriz de covarianza se utilizan para reducir la dimensionalidad de los datos.
TE RECOMENDAMOS LEER:   13. Aplicaciones Avanzadas del Álgebra Lineal

Ejemplo de aplicación:

En PCA, se desea proyectar datos multidimensionales en un espacio de menor dimensión preservando la mayor varianza posible. Esto se logra mediante la descomposición espectral de la matriz de covarianza y la selección de los autovalores y autovectores principales.

Esta sección cubre los conceptos de autovalores y autovectores, incluyendo su definición, cálculo, diagonalización de matrices y aplicaciones, con explicaciones detalladas y ejemplos ilustrativos.

De Ingenierías