8. Transformaciones Lineales

Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que preservan la estructura de estos espacios. Son fundamentales en álgebra lineal porque permiten el estudio de las propiedades de los espacios vectoriales a través de funciones.

8.1 Definición de transformación lineal

Una transformación lineal $T$ entre dos espacios vectoriales $V$ y $W$ (denotada como $T: V \rightarrow W$) es una función que satisface las siguientes propiedades para todos los vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ y todos los escalares $c \in \mathbb{R}$:

1. Aditividad:
   $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
2. Homogeneidad:
   $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$

Estas propiedades garantizan que la transformación respeta la estructura lineal del espacio vectorial.

Ejemplo:

Consideremos $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $T(x, y) = (2x, 3y)$. Verificamos las propiedades:

8.2 Núcleo y rango de una transformación lineal

El núcleo y el rango son conceptos fundamentales asociados con una transformación lineal $T: V \rightarrow W$.

• Núcleo (Ker):

El núcleo de $T$, denotado como $\text{Ker}(T)$, es el conjunto de todos los vectores en $V$ que se transforman en el vector cero en $W$:
$\text{Ker}(T) = { \mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} }$

• Rango (Im):

El rango de $T$, denotado como $\text{Im}(T)$, es el conjunto de todas las imágenes de los vectores de $V$ en $W$:
$\text{Im}(T) = { T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V }$

Ejemplo:

Para $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $T(x, y, z) = (x + y, y + z)$:

Núcleo:

$\text{Ker}(T) = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid$ $T(x, y, z) = (0, 0) $

Resolviendo $x + y = 0$ y $y + z = 0$, tenemos $x = -y$ y $z = -y$, así que:
$\text{Ker}(T) = { (-y, y, -y) \mid y \in \mathbb{R} }$

Rango:

$\text{Im}(T) = (a, b) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 $ tal que $(x + y, y + z) = (a, b) $

Como todos los $a$ y $b$ son posibles, $\text{Im}(T) = \mathbb{R}^2.$

8.3 Matriz de una transformación lineal

La matriz de una transformación lineal representa cómo actúa dicha transformación sobre los vectores en términos de una base específica.

Definición:

Si $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es una transformación lineal, su matriz $A$ está dada por las imágenes de los vectores base estándar $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$:
$T(\mathbf{e}_i) = \text{i-ésima columna de } A$

Ejemplo:

Para $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $T(x, y) = (2x + y, x + 3y)$:

$T(\mathbf{e}_1) = T(1, 0) = (2, 1)$
$T(\mathbf{e}_2) = T(0, 1) = (1, 3)$

Entonces, la matriz $A$ de $T$ es:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

8.4 Composición de transformaciones lineales

La composición de dos transformaciones lineales también es una transformación lineal. Si $T: U \rightarrow V$ y $S: V \rightarrow W$, entonces la composición $S \circ T: U \rightarrow W$ se define como:
$(S \circ T)(\mathbf{u}) = S(T(\mathbf{u}))$

Propiedades:

1. Linealidad: Si $T$ y $S$ son lineales, entonces $S \circ T$ también es lineal.
2. Matriz de la composición: Si $A$ y $B$ son las matrices de $T$ y $S$ respectivamente, la matriz de $S \circ T$ es el producto de $B$ y $A$:
   $\text{Matriz de } (S \circ T) = BA$

Ejemplo:

Para $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ con matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $S: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ con matriz $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$:

La matriz de $S \circ T$ es:
$BA = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

8.5 Inversa de una transformación lineal

Una transformación lineal $T: V \rightarrow W$ tiene una inversa $T^{-1}: W \rightarrow V$ si y solo si $T$ es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). La inversa satisface:
$T(T^{-1}(\mathbf{w})) = \mathbf{w} \quad \text{y} \quad T^{-1}(T(\mathbf{v})) = \mathbf{v}$

Matriz de la inversa:

Si $A$ es la matriz de $T$, entonces la matriz de $T^{-1}$ es $A^{-1}$.

Ejemplo:

Consideremos $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ con matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

La matriz inversa $A^{-1}$ es:
$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)$
donde $\text{det}(A) = 2 \cdot 3 – 1 \cdot 1 = 5$ y $\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Así, $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Esta sección cubre las transformaciones lineales, incluyendo su definición, núcleo y rango, matriz asociada, composición, e inversa, con explicaciones detalladas y ejemplos ilustrativos.