7. Espacios Vectoriales Euclidianos

Los espacios vectoriales euclidianos son un tipo especial de espacio vectorial que está equipado con una estructura geométrica adicional, permitiendo la definición de conceptos como longitud, ángulo y ortogonalidad.

7.1 Producto escalar (dot product)

El producto escalar, también conocido como producto punto, es una operación algebraica que toma dos vectores y devuelve un número (escalar). Es una herramienta fundamental para definir la longitud de un vector y el ángulo entre dos vectores.

Definición:

Para dos vectores $\mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$ y $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ en $\mathbb{R}^n$, el producto escalar se define como:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n$

Propiedades:

  1. Conmutatividad: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$
  2. Distributividad: $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$
  3. Asociatividad con un escalar: $(c\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = c(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$

Ejemplo:

Para los vectores $\mathbf{u} = (1, 2, 3)$ y $\mathbf{v} = (4, -5, 6)$:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6$ $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}= 4 – 10 + 18 = 12$

7.2 Norma y distancia en espacios vectoriales

La norma de un vector es una medida de su longitud o magnitud. En los espacios vectoriales euclidianos, la norma más comúnmente usada es la norma euclidiana.

Definición de norma:

La norma (o longitud) de un vector $\mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$ en $\mathbb{R}^n$ se define como:
$|\mathbf{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2}$

Propiedades de la norma:

  1. Positividad: $||\mathbf{u}|| \geq 0$ y $||\mathbf{u}|| = 0$ si y solo si $\mathbf{u} = \mathbf{0}$
  2. Homogeneidad: $||c\mathbf{u}|| = |c| ||\mathbf{u}||$
  3. Desigualdad triangular: $||\mathbf{u} + \mathbf{v}|| \leq ||\mathbf{u}|| + ||\mathbf{v}||$
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Distancia entre vectores:

La distancia entre dos vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ en $\mathbb{R}^n$ se define como:
$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = ||\mathbf{u} – \mathbf{v}||$

Ejemplo:

Para los vectores $\mathbf{u} = (1, 2, 3)$ y $\mathbf{v} = (4, -5, 6)$:

Longitud del vector $\mathbf{u}$:

$$||\mathbf{u}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}$$

$$||\mathbf{u}||= \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$

Distancia entre vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$

Para los vectores $\mathbf{u} = (1, 2, 3)$ y $\mathbf{v} = (4, -5, 6)$:

$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = ||\mathbf{u} – \mathbf{v}||$

$d(\mathbf{u}, \mathbf{v})= || (1-4, 2+5, 3-6) || $

$d(\mathbf{u}, \mathbf{v})= ||(-3, 7, -3)|| $

$d(\mathbf{u}, \mathbf{v})= \sqrt{(-3)^2 + 7^2 + (-3)^2}$

$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{9 + 49 + 9}$

$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{67}$

7.3 Ortogonalidad y ortonormalidad

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero. Un conjunto de vectores es ortonormal si todos los vectores son ortogonales entre sí y cada uno tiene norma uno.

Ortogonalidad:

Dos vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son ortogonales si:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$

Ortonormalidad:

Un conjunto de vectores {$ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n $} es ortonormal si:

  1. $\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_j = 0$ para $i \neq j$ (ortogonalidad)
  2. $||\mathbf{u}_i|| = 1$ para todo $i$ (norma uno)

Ejemplo:

Para los vectores $\mathbf{u} = (1, 0, 0)$ y $\mathbf{v} = (0, 1, 0)$:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$

7.4 Proyección de vectores

La proyección de un vector $\mathbf{u}$ sobre un vector $\mathbf{v}$ es el vector resultante que representa la sombra de $\mathbf{u}$ en la dirección de $\mathbf{v}$.

Definición:

La proyección de $\mathbf{u}$ sobre $\mathbf{v}$ se define como:
$\text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} \mathbf{v}$

Ejemplo:

Esta sección cubre los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales euclidianos, incluyendo el producto escalar, la norma y distancia, la ortogonalidad y ortonormalidad, y la proyección de vectores, con ejemplos detallados y propiedades clave.

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