Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de ecuaciones que se resuelven conjuntamente para encontrar las incógnitas comunes. Son fundamentales en álgebra lineal y tienen aplicaciones en diversas disciplinas.
6.1 Formulación de sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas. Se puede escribir en forma matricial como $AX = B$, donde:
- $A$ es una matriz $m \times n$ de coeficientes.
- $X$ es un vector columna de $n$ incógnitas.
- $B$ es un vector columna de términos constantes.
Ejemplo:
Un sistema de $2$ ecuaciones lineales con $2$ incógnitas:
$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2
\end{cases}
$
Se puede escribir en forma matricial:
$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix}
$
6.2 Métodos de solución
6.2.1 Método de Gauss
El método de Gauss, o eliminación de Gauss, transforma el sistema de ecuaciones en una forma escalonada superior, lo que permite resolver el sistema mediante sustitución hacia atrás.
Pasos:
- Seleccionar una ecuación como pivote.
- Eliminar la incógnita del pivote de las ecuaciones restantes.
- Repetir hasta obtener una matriz triangular superior.
- Resolver el sistema mediante sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
Para el sistema:
$
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
x – 2y = -1
\end{cases}
$
- Multiplicar la segunda ecuación por 2 y restar de la primera:
$
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
2x – 4y = -2
\end{cases}
$
$
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
0 – 7y = -10
\end{cases}
$
- Resolver para $y$:
$
y = \frac{10}{7}
$ - Sustituir $y$ en la primera ecuación:
$2x + 3\left(\frac{10}{7}\right) = 8$ $ \implies 2x + \frac{30}{7} = 8$ $ \implies 2x = 8 – \frac{30}{7} $ $\implies 2x = \frac{56}{7} – \frac{30}{7}$ $ \implies 2x = \frac{26}{7}$ $ \implies x = \frac{13}{7}$
6.2.2 Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan lleva la matriz del sistema a su forma reducida por filas, haciendo que cada pivote sea $1$ y que todos los demás elementos en la columna del pivote sean $0$. Esto proporciona una solución directa.
Pasos:
- Transformar la matriz en una forma escalonada reducida.
- Hacer que cada pivote sea $1$ dividiendo por el valor del pivote.
- Hacer ceros los elementos restantes en las columnas de los pivotes.
Ejemplo:
Para el sistema:
$
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x + 3y + 4z = 20 \\
3x + y + 2z = 14
\end{cases}
$
La matriz aumentada es:
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & 3 & 4 & | & 20 \\
3 & 1 & 2 & | & 14
\end{pmatrix}
$
Aplicando Gauss-Jordan, obtenemos:
$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 2 \\
0 & 1 & 0 & | & 3 \\
0 & 0 & 1 & | & 1
\end{pmatrix}
$
La solución es:
$
x = 2, \quad y = 3, \quad z = 1
$
6.2.3 Método de eliminación
El método de eliminación elimina una incógnita de una ecuación utilizando otra ecuación del sistema. Esto se repite hasta resolver el sistema.
Ejemplo:
Para el sistema:
$
\begin{cases}
3x + 2y = 5 \\
4x – y = 6
\end{cases}
$
Multiplicar la segunda ecuación por 2 y sumar a la primera:
$2(4x – y) + 3x + 2y = 2(6) + 5$ $\implies 8x – 2y + 3x + 2y = 12 + 5$ $\implies 11x = 17 $ $\implies x = \frac{17}{11}$
Sustituir $x$ en la segunda ecuación:
$4\left(\frac{17}{11}\right) – y = 6$ $\implies \frac{68}{11} – y = 6$ $\implies y = \frac{68}{11} – 6$ $\implies y = \frac{68}{11} – \frac{66}{11}$ $\implies y = \frac{2}{11}$
6.2.4 Método de sustitución
El método de sustitución resuelve una de las ecuaciones para una de las incógnitas y sustituye esa expresión en las otras ecuaciones. Esto se repite hasta resolver todas las incógnitas.
Ejemplo:
Para el sistema:
$
\begin{cases}
x + y = 4 \\
2x – y = 1
\end{cases}
$
- Resolver la primera ecuación para $y$:
$
y = 4 – x
$ - Sustituir $y$ en la segunda ecuación:
$
2x – (4 – x) = 1$ $\implies 2x – 4 + x = 1$ $\implies 3x = 5$ $\implies x = \frac{5}{3}
$ - Sustituir $x$ en la primera ecuación:
$
y = 4 – \frac{5}{3} \implies y = \frac{12}{3} – \frac{5}{3}$ $\implies y = \frac{7}{3}
$
6.3 Soluciones de sistemas de ecuaciones
6.3.1 Solución única
Un sistema tiene una solución única si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes $A$ es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$).
Ejemplo:
Para el sistema:
$$
\begin{cases}
x + 2y = 3 \\
3x + 4y = 5
\end{cases}
$$
El determinante es:
$
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{vmatrix} = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2$ $ \implies \det(A) \neq 0 \$
Por lo tanto, el sistema tiene una solución única.
6.3.2 Soluciones infinitas
Un sistema tiene soluciones infinitas si la matriz de coeficientes no tiene fila de rango completo, pero las filas del sistema ampliado son linealmente dependientes. Esto significa que las ecuaciones son dependientes y no proporcionan información adicional.
Ejemplo:
Para el sistema:
$$
\begin{cases}
x + y = 2 \\
2x + 2y = 4
\end{cases}
$$
Las ecuaciones son linealmente dependientes (la segunda ecuación es el doble de la primera), por lo que hay soluciones infinitas, como:
$
y = 2 – x \quad \text{para cualquier } x
$
6.3.3 Soluciones inexistentes
Un sistema no tiene solución (es inconsistente) si las filas de la matriz de coeficientes no son linealmente dependientes, pero el sistema ampliado tiene una fila con coeficientes cero y un término constante no cero.
Ejemplo:
Para el sistema:
$
\begin{cases}
x + y = 1 \\
2x + 2y = 3
\end{cases}
$
Las ecuaciones son inconsistentes (la segunda ecuación no es el doble de la primera), por lo que no hay soluciones.
Estas explicaciones detalladas cubren los conceptos clave y los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo ejemplos ilustrativos para cada caso.