5. Determinantes

Los determinantes son una herramienta fundamental en álgebra lineal, ya que permiten caracterizar muchas propiedades de las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales.

5.1 Definición de determinante

El determinante es un valor escalar asociado a una matriz cuadrada que proporciona información sobre la matriz, como su invertibilidad y el volumen del paralelogramo definido por sus vectores columna.

Para una matriz cuadrada $A$ de orden $n$, el determinante se denota como $\det(A)$ o $|A|$.

Ejemplo:

Para una matriz $2 \times 2$:
$$
A = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$$
El determinante se calcula como:
$$
\det(A) = ad – bc
$$

5.2 Propiedades de los determinantes

1. Linealidad: El determinante es una función lineal en cada fila y cada columna de la matriz.
2. Cambio de filas o columnas: Intercambiar dos filas o columnas de una matriz multiplica el determinante por $(-1)$.
3. Fila o columna nula: Si una matriz tiene una fila o columna compuesta solo por ceros, su determinante es 0.
4. Fila o columna idéntica: Si dos filas o columnas de una matriz son idénticas, su determinante es 0.
5. Multiplicatividad: El determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes: $\det(AB) = \det(A)\det(B)$.
6. Determinante de la transpuesta: El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta: $\det(A^T) = \det(A)$.

5.3 Cálculo de determinantes

5.3.1 Expansión de Laplace

La expansión de Laplace es un método para calcular el determinante de una matriz utilizando cofactores. Para una matriz $n \times n$, el determinante se calcula como:

$
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}
$

donde $a_{ij}$ es el elemento en la posición $i, j$ y $M_{ij}$ es el menor complementario obtenido al eliminar la fila $i$ y la columna $j$.

Ejemplo:

Para una matriz $3 \times 3$:
$$
A = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}
$$

$$
\det(A) = a \begin{vmatrix}
e & f \\
h & i
\end{vmatrix} – b \begin{vmatrix}
d & f \\
g & i
\end{vmatrix} + c \begin{vmatrix}
d & e \\
g & h
\end{vmatrix}
$$

5.3.2 Métodos iterativos

Los métodos iterativos, como el método de eliminación de Gauss, transforman la matriz en una matriz triangular superior, donde el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo:

Para una matriz $3 \times 3$:
$
A = \begin{pmatrix}
2 & -3 & 1 \\
4 & -4 & 1 \\
6 & -2 & 2
\end{pmatrix}
$

Aplicamos eliminación de Gauss para obtener una matriz triangular superior:
$
A’ = \begin{pmatrix}
2 & -3 & 1 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

El determinante es el producto de los elementos de la diagonal:
$
\det(A) = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4
$

5.4 Aplicaciones de los determinantes

5.4.1 Teorema de Cramer

El teorema de Cramer proporciona una solución para sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes. Para un sistema de $n$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas representado como $AX = B$, donde $A$ es una matriz de coeficientes y $B$ es un vector de términos constantes, la solución se da por:

$
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
$

donde $A_i$ es la matriz obtenida al reemplazar la $i$-ésima columna de $A$ por el vector $B$.

Ejemplo:

Para el sistema:
$
\begin{cases}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{cases}
$

Las matrices son:
$
A = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & -1
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
5 \\
1
\end{pmatrix}
$

La solución se encuentra calculando los determinantes:
$
A_1 = \begin{pmatrix}
5 & 3 \\
1 & -1
\end{pmatrix}, \quad
A_2 = \begin{pmatrix}
2 & 5 \\
4 & 1
\end{pmatrix}
$

$
x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{5 \cdot (-1) – 3 \cdot 1}{2 \cdot (-1) – 4 \cdot 3} $ $= \frac{-5 – 3}{-2 – 12} = \frac{-8}{-14} = \frac{4}{7}
$

$
y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{2 \cdot 1 – 5 \cdot 4}{2 \cdot (-1) – 4 \cdot 3} $ $= \frac{2 – 20}{-2 – 12} = \frac{-18}{-14} = \frac{9}{7}
$

5.4.2 Inversa de una matriz

La inversa de una matriz cuadrada $A$ existe si y solo si $\det(A) \neq 0$. Se puede calcular utilizando cofactores y el determinante de $A$.

La inversa de $A$, denotada $A^{-1}$, es:
$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
$

donde $\text{adj}(A)$ es la matriz adjunta de $A$, formada por los cofactores transpuestos.

Ejemplo:

Para una matriz $2 \times 2$:
$
A = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$

$
\det(A) = ad – bc
$

Si $\det(A) \neq 0$, entonces:
$
A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
$

Con estas explicaciones detalladas, cubrimos los conceptos clave sobre los determinantes y sus aplicaciones en álgebra lineal.