4. Matrices

4.1 Definición y notación de matrices

Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, dispuestos en filas y columnas. Matemáticamente, una matriz se representa generalmente por una letra mayúscula (como $A$) y sus elementos se denotan mediante la misma letra en minúscula con subíndices (como $a_{ij}$).

  • Notación:
  • Una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ (m filas y n columnas) se escribe como:
    $A = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}$
  • El elemento en la posición de la fila $i$ y columna $j$ se denota como $a_{ij}$.
    Ejemplo:
    Una matriz $A$ de $3 \times 2$ (3 filas y 2 columnas) puede ser:
    $A = \begin{pmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4 \\
    5 & 6
    \end{pmatrix}$

4.2 Tipos de matrices

4.2.1 Matrices cuadradas

Definición:
Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas ($m = n$). Se denota como una matriz de orden $n$.
Ejemplo:
Una matriz cuadrada de orden 3 es:
$A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
3 & -1 & 4 \\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}$

4.2.2 Matrices diagonales

Definición:
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero. La diagonal principal es la que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha.
Ejemplo:
Una matriz diagonal de orden 3 es:
$D = \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}$

4.2.3 Matrices identidad

Definición:
Una matriz identidad (o matriz unitaria) es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. Se denota generalmente como $I$.
Ejemplo:
La matriz identidad de orden 3 es:
$I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

4.2.4 Matrices transpuestas

Definición:
La transpuesta de una matriz $A$ se obtiene intercambiando sus filas por columnas. Si $A$ es una matriz de tamaño $m \times n$, su transpuesta $A^T$ será una matriz de tamaño $n \times m$.
Ejemplo:
Si $A$ es:
$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}$
Entonces su transpuesta $A^T$ es:
$A^T = \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6\end{pmatrix}$

Estas secciones proporcionan una base sólida en la comprensión de las matrices, incluyendo su definición, notación y diferentes tipos importantes de matrices. Cada tipo de matriz tiene propiedades y aplicaciones específicas en álgebra lineal y otras disciplinas matemáticas.

TE RECOMENDAMOS LEER:   2. Vectores

4.3 Operaciones con matrices

4.3.1 Suma y resta

Definición:

La suma y resta de matrices se realizan elemento a elemento. Para que dos matrices se puedan sumar o restar, deben tener el mismo tamaño (mismo número de filas y columnas).

Suma de matrices:

Dados dos matrices $(A)$ y $(B)$ de tamaño $m \times n$:

$
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}, \quad$ $B = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}$

La suma $A + B$ se define como:

$A + B =$ $ \begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{pmatrix}$

Ejemplo:

$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}
$

$$A + B$$

$ = \begin{pmatrix}
1 + 5 & 2 + 6 \\
3 + 7 & 4 + 8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 8 \\
10 & 12
\end{pmatrix}
$

Resta de matrices:

La resta $A – B$ se define de manera similar:

$A – B=$ $ \begin{pmatrix}
a_{11} – b_{11} & a_{12} – b_{12} & \cdots & a_{1n} – b_{1n} \\
a_{21} – b_{21} & a_{22} – b_{22} & \cdots & a_{2n} – b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} – b_{m1} & a_{m2} – b_{m2} & \cdots & a_{mn} – b_{mn}
\end{pmatrix}$

Ejemplo:

$
A = \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
$

$
A – B = \begin{pmatrix}
5 – 1 & 6 – 2 \\
7 – 3 & 8 – 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 4 \\
4 & 4
\end{pmatrix}
$

4.3.2 Producto por un escalar

Definición:

El producto de una matriz por un escalar consiste en multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por dicho escalar. Sea $c$ un escalar y $A$ una matriz de tamaño $m \times n$:

$
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}$

El producto $cA$ se define como:

$cA$ $= \begin{pmatrix}
c \cdot a_{11} & c \cdot a_{12} & \cdots & c \cdot a_{1n} \\
c \cdot a_{21} & c \cdot a_{22} & \cdots & c \cdot a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c \cdot a_{m1} & c \cdot a_{m2} & \cdots & c \cdot a_{mn}
\end{pmatrix}
$

Ejemplo:

$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad c = 2
$

$
cA = 2 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} $ $= \begin{pmatrix}
2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 \\
2 \cdot 3 & 2 \cdot 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 4 \\
6 & 8
\end{pmatrix}
$

TE RECOMENDAMOS LEER:   1. Introducción al Álgebra Lineal

4.3.3 Producto de matrices

Definición:

El producto de dos matrices $(A)$ y $(B)$ es posible solo si el número de columnas de $(A)$ es igual al número de filas de $(B)$. Si $(A)$ es de tamaño $m \times n$ y $(B)$ es de tamaño $n \times p$, entonces el producto $(AB)$ será una matriz de tamaño $m \times p$.

El elemento $c_{ij}$ de la matriz producto $C = AB$ se calcula como:
$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
$$

Ejemplo:

$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix}$

$$AB$$

$$= \begin{pmatrix}
(1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 0 + 2 \cdot 3) \\
(3 \cdot 2 + 4 \cdot 1) & (3 \cdot 0 + 4 \cdot 3)
\end{pmatrix}$$

$$ AB= \begin{pmatrix}
4 & 6 \\
10 & 12
\end{pmatrix}$$

4.3.4 Transposición

Definición:

La transposición de una matriz $(A)$, denotada como $(A^T)$, se obtiene intercambiando sus filas por columnas. Si $(A)$ es una matriz de tamaño $m \times n$, su transpuesta $(A^T)$ será una matriz de tamaño $n \times m$

Ejemplo:

$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
$

Entonces su transpuesta $(A^T)$ es:
$
A^T = \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{pmatrix}
$

Estas secciones cubren las operaciones fundamentales con matrices, proporcionando una base sólida para trabajar con matrices en álgebra lineal.


4.4 Propiedades de las matrices

Las matrices poseen diversas propiedades que facilitan su manipulación y comprensión en álgebra lineal. Estas propiedades son cruciales para entender cómo operan y se utilizan en diferentes contextos matemáticos y aplicados.

4.4.1 Propiedad conmutativa de la suma

Para cualquier matriz $A$ y $B$ de igual tamaño, se cumple que:

$$A + B = B + A$$

Ejemplo:

$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}$

$$A + B$$

$$ = \begin{pmatrix}
1 + 5 & 2 + 6 \\
3 + 7 & 4 + 8
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
6 & 8 \\
10 & 12
\end{pmatrix}$$

$$B + A$$

$$ = \begin{pmatrix}
5 + 1 & 6 + 2 \\
7 + 3 & 8 + 4
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
6 & 8 \\
10 & 12
\end{pmatrix}$$

4.4.2 Propiedad asociativa de la suma

Para cualquier matriz $A$, $B$, y $C$ de igual tamaño, se cumple que:

$$(A + B) + C = A + (B + C)$$

Ejemplo:

$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}, \quad
$ $C = \begin{pmatrix}
9 & 10 \\
11 & 12
\end{pmatrix}$

$$(A + B) + C $$

$$= \begin{pmatrix}
6 & 8 \\
10 & 12
\end{pmatrix} + C $$

$$= \begin{pmatrix}
6 + 9 & 8 + 10 \\
10 + 11 & 12 + 12
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
15 & 18 \\
21 & 24
\end{pmatrix}$$

$$A + (B + C) $$

$$= A + \begin{pmatrix}
14 & 16 \\
18 & 20
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
1 + 14 & 2 + 16 \\
3 + 18 & 4 + 20
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
15 & 18 \\
21 & 24
\end{pmatrix}$$

4.4.3 Propiedad distributiva del producto por un escalar

Para cualquier escalar $c$ y matrices $A$ y $B$ de igual tamaño, se cumple que:

TE RECOMENDAMOS LEER:   14. Problemas y Ejercicios

$$c(A + B) = cA + cB$$

Ejemplo:

$c = 2, \quad A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad$ $
B = \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}$

$$c(A + B)$$

$$ = 2 \cdot \begin{pmatrix}
6 & 8 \\
10 & 12
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
12 & 16 \\
20 & 24
\end{pmatrix}$$

$$cA + cB$$

$$ = 2 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
2 & 4 \\
6 & 8
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
10 & 12 \\
14 & 16
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
12 & 16 \\
20 & 24
\end{pmatrix}$$

4.4.4 Propiedad asociativa del producto de matrices

Para cualquier matriz $A$, $B$, y $C$, se cumple que:

$$A(BC) = (AB)C$$

Ejemplo:

$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix}, \quad
$ $C = \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5
\end{pmatrix}$

$$BC$$

$$= \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5
\end{pmatrix} $$

$$= \begin{pmatrix}
2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 2 \cdot 4 + 0 \cdot 5 \\
1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
2 & 8 \\
7 & 19
\end{pmatrix}$$

$$A(BC)$$

$$= \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 8 \\
7 & 19
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
1 \cdot 2 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 19 \\
3 \cdot 2 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 8 + 4 \cdot 19
\end{pmatrix} $$

$$= \begin{pmatrix}
16 & 46 \\
34 & 100
\end{pmatrix}$$

$$AB$$

$$ = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} $$

$$= \begin{pmatrix}
1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \\
3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3
\end{pmatrix} $$

$$= \begin{pmatrix}
4 & 6 \\
10 & 12
\end{pmatrix}$$

$$(AB)C$$

$$ = \begin{pmatrix}
4 & 6 \\
10 & 12
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
4 \cdot 1 + 6 \cdot 2 & 4 \cdot 4 + 6 \cdot 5 \\
10 \cdot 1 + 12 \cdot 2 & 10 \cdot 4 + 12 \cdot 5
\end{pmatrix} $$

$$= \begin{pmatrix}
16 & 46 \\
34 & 100
\end{pmatrix}$$

4.4.5 Propiedad distributiva del producto de matrices

Para cualquier matriz $A$ y $B$ y escalar $c$, se cumple que:

$$A(B + C) = AB + AC$$

Ejemplo:

$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix}, \quad
$ $C = \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5
\end{pmatrix}$

$$B + C$$

$$ \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 4 \\
3 & 8
\end{pmatrix}$$

$$A(B + C)$$

$$ \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 & 4 \\
3 & 8
\end{pmatrix} $$

$$= \begin{pmatrix}
1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot 8 \\
3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 4 + 4 \cdot 8
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
9 & 20 \\
21 & 44
\end{pmatrix}$$

$$AB$$

$$ \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
4 & 6 \\
10 & 12
\end{pmatrix}$$

$$AC$$

$$ \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
5 & 14 \\
11 & 28
\end{pmatrix}$$

$$AB + AC$$

$$ \begin{pmatrix}
4 & 6 \\
10 & 12
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
5 & 14 \\
11 & 28
\end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix}
9 & 20 \\
21 & 40
\end{pmatrix}$$

4.4.6 Propiedad del elemento neutro aditivo

Para cualquier matriz $A$, se cumple que:
$A + 0 = A$

Donde $0$ es la matriz nula del mismo tamaño que $A$.

Ejemplo:

$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad
0 = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$

$A + 0 = \begin{pmatrix}
1 + 0 & 2 + 0 \\
3 + 0 & 4 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$

Estas son algunas de las propiedades fundamentales de las matrices. Cada una de estas propiedades puede ser utilizada para simplificar y resolver problemas en álgebra lineal y aplicaciones relacionadas.

De Ingenierías