3. Espacios Vectoriales

3. Espacios Vectoriales

3.1 Definición de espacio vectorial

Definición:

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es un conjunto de elementos llamados vectores, junto con dos operaciones: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, que satisfacen las siguientes propiedades (axiomas) para todos los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ en el espacio vectorial y para todos los escalares $a$ y $b$:

  1. Cerradura bajo la suma:
    Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son vectores en el espacio, entonces $\vec{u} + \vec{v}$ también es un vector en el espacio.
  2. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar:
    Si $\vec{v}$ es un vector en el espacio y $a$ es un escalar, entonces $a\vec{v}$ también es un vector en el espacio.
  3. Asociatividad de la suma:
    $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
  4. Conmutatividad de la suma:
    $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
  5. Existencia del vector cero:
    Existe un vector $\vec{0}$ tal que $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ para cualquier vector $\vec{v}$.
  6. Existencia del vector inverso:
    Para cada vector $\vec{v}$, existe un vector $-\vec{v}$ tal que $\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$.
  7. Distributividad de la multiplicación por un escalar respecto a la suma de vectores:
    $a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$
  8. Distributividad de la multiplicación por un escalar respecto a la suma de escalares:
    $(a + b)\vec{v} = a\vec{v} + b\vec{v}$
  9. Compatibilidad de la multiplicación por escalares:
    $a(b\vec{v}) = (ab)\vec{v}$
  10. Existencia de un escalar multiplicativo:
    $1\vec{v} = \vec{v}$

3.2 Subespacios

Definición:

Un subespacio de un espacio vectorial es un subconjunto de vectores que cumple con las propiedades de un espacio vectorial. Es decir, un subespacio debe ser cerrado bajo la suma de vectores y la multiplicación por escalares, y debe contener el vector cero.

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Para que un subconjunto $W$ de un espacio vectorial $V$ sea un subespacio, deben cumplirse las siguientes condiciones:

  1. Cerradura bajo la suma:
    Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ están en $W$, entonces $\vec{u} + \vec{v}$ también está en $W$.
  2. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar:
    Si $\vec{v}$ está en $W$ y $a$ es un escalar, entonces $a\vec{v}$ está en $W$.
  3. El vector cero:
    $W$ contiene el vector cero $\vec{0}$.

Ejemplo:

Considere el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Un subespacio de $\mathbb{R}^3$ podría ser el conjunto de todos los vectores que yacen en un plano que pasa por el origen.

3.3 Combinación lineal de vectores

Definición:

Una combinación lineal de un conjunto de vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, …, $\vec{v}_n$ en un espacio vectorial es cualquier vector que se puede expresar como una suma ponderada de estos vectores. Es decir,

$\vec{w} = a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + … + a_n\vec{v}_n$

donde $a_1$, $a_2$, …, $a_n$ son escalares.

Ejemplo:

Si $\vec{v}_1 = (1, 0)$ y $\vec{v}_2 = (0, 1)$ en $\mathbb{R}^2$, entonces cualquier vector $\vec{w} = (x, y)$ en $\mathbb{R}^2$ se puede escribir como una combinación lineal de $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$:

$\vec{w} = x\vec{v}_1 + y\vec{v}_2$

3.4 Dependencia e independencia lineal

Dependencia lineal:

Un conjunto de vectores ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, …, \vec{v}_n}$ en un espacio vectorial es linealmente dependiente si al menos uno de los vectores se puede escribir como una combinación lineal de los otros. Es decir, existen escalares $a_1$, $a_2$, …, $a_n$ no todos cero, tales que:

$a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + … + a_n\vec{v}_n = \vec{0}$

Independencia lineal:

Un conjunto de vectores ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, …, \vec{v}_n}$ en un espacio vectorial es linealmente independiente si la única combinación lineal que produce el vector cero es la combinación trivial donde todos los coeficientes son cero. Es decir,

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$a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + … + a_n\vec{v}_n = \vec{0}$

implica que $a_1 = a_2 = … = a_n = 0$.

Ejemplo:

En $\mathbb{R}^2$, los vectores $\vec{v}_1 = (1, 0)$ y $\vec{v}_2 = (0, 1)$ son linealmente independientes, pero los vectores $\vec{v}_1 = (1, 0)$ y $\vec{v}_2 = (2, 0)$ son linealmente dependientes porque $\vec{v}_2$ es una combinación lineal de $\vec{v}_1$ ($\vec{v}_2 = 2\vec{v}_1$).

3.5 Base y dimensión de un espacio vectorial

Base:

Una base de un espacio vectorial $V$ es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el espacio vectorial. En otras palabras, cualquier vector en $V$ puede escribirse como una combinación lineal única de los vectores de la base.

Dimensión:

La dimensión de un espacio vectorial $V$ es el número de vectores en cualquier base de $V$. La dimensión representa el número de grados de libertad o la «cantidad de espacio» que ocupa el espacio vectorial.

Ejemplo:

En $\mathbb{R}^3$, una base común es ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$. La dimensión de $\mathbb{R}^3$ es 3 porque hay tres vectores en la base.

3.6 Cambio de base

El cambio de base en un espacio vectorial implica expresar los vectores de un espacio vectorial en términos de una nueva base. Esto se realiza utilizando matrices de transformación que convierten las coordenadas de los vectores de una base a otra.

Procedimiento:

  1. Sea ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, …, \vec{v}_n}$ la base original y ${\vec{w}_1, \vec{w}_2, …, \vec{w}_n}$ la nueva base.
  2. Encuentre la matriz de cambio de base $P$ tal que $\vec{w}_i = P\vec{v}_i$ para $i = 1, 2, …, n$.
  3. Utilice la matriz $P$ para transformar las coordenadas de los vectores en la base original a la nueva base.
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Ejemplo:

Si queremos cambiar de la base ${(1, 0), (0, 1)}$ en $\mathbb{R}^2$ a la base ${(2, 1), (1, 3)}$, primero encontramos la matriz de cambio de base $P$ que transforma los vectores de la base original a la nueva base. Luego, usamos esta matriz para transformar las coordenadas de cualquier vector en la base original a la nueva base.


Este desarrollo cubre los conceptos clave de los espacios vectoriales, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, base y dimensión, y cambio de base, proporcionando una base sólida para comprender la estructura y las propiedades de los espacios vectoriales en álgebra lineal.

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