2. Vectores

2.1 Definición y notación

Definición:

Un vector es una entidad matemática que tiene magnitud (longitud) y dirección. Los vectores se utilizan para representar cantidades que tienen estas dos propiedades, como la velocidad, la fuerza y el desplazamiento.

Notación:

• Los vectores se suelen denotar por letras minúsculas en negrita, como v, u, w, o con una flecha encima, como $(\vec{v})$, $(\vec{u})$, $(\vec{w})$.
• Un vector en un espacio n-dimensional se representa como una lista ordenada de n números (componentes), por ejemplo, $(\vec{v} = (v_1, v_2, …, v_n))$.
• En dos dimensiones, un vector $(\vec{v})$ se puede escribir como $(\vec{v} = (v_1, v_2))$.
• En tres dimensiones, un vector $(\vec{v})$ se escribe como $(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3))$.

2.2 Operaciones con vectores

Las operaciones básicas con vectores incluyen la suma, la resta y la multiplicación por un escalar.

2.2.1 Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

La suma de dos vectores $(\vec{u})$ y $(\vec{v})$ se realiza sumando sus componentes correspondientes. Si (\vec{u} = $(u_1, u_2, …, u_n))$ y $(\vec{v} = (v_1, v_2, …, v_n))$, entonces:

$ \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, …, u_n + v_n) $

Resta de vectores:

La resta de dos vectores $(\vec{u})$ y $(\vec{v})$ se realiza restando sus componentes correspondientes. Si $(\vec{u} = (u_1, u_2, …, u_n))$ y $(\vec{v} = (v_1, v_2, …, v_n))$, entonces:

$ \vec{u} – \vec{v} = (u_1 – v_1, u_2 – v_2, …, u_n – v_n) $

2.2.2 Producto por un escalar

La multiplicación de un vector $(\vec{v})$ por un escalar $(k)$ implica multiplicar cada componente del vector por ese escalar. Si $(\vec{v} = (v_1, v_2, …, v_n))$ y $(k)$ es un escalar, entonces:

$ k\vec{v} = (kv_1, kv_2, …, kv_n) $

2.3 Propiedades de los vectores

Los vectores tienen varias propiedades importantes que se utilizan en cálculos y aplicaciones:

1. Conmutatividad de la suma:
   $ \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} $
2. Asociatividad de la suma:
   $ (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) $
3. Elemento neutro (vector cero):
   Existe un vector cero $(\vec{0})$ tal que:
   $ \vec{v} + \vec{0} = \vec{v} $
4. Elemento inverso:
   Para cada vector $(\vec{v})$, existe un vector $(-\vec{v})$ tal que:
   $ \vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0} $
5. Distributividad de la multiplicación por un escalar:
   $ k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} $
   $ (k + l)\vec{v} = k\vec{v} + l\vec{v} $
   $ k(l\vec{v}) = (kl)\vec{v} $
6. Multiplicación por el escalar uno:
   $ 1\vec{v} = \vec{v} $

2.4 Vectores en el espacio n-dimensional

Los vectores no están limitados a dos o tres dimensiones; pueden existir en cualquier número de dimensiones. Un vector en un espacio n-dimensional (o $\mathbb{R}^n$) tiene n componentes.

• Espacio bidimensional ($\mathbb{R}^2$): Un vector $(\vec{v})$ en este espacio se representa como $(\vec{v} = (v_1, v_2))$.
• Espacio tridimensional ($\mathbb{R}^3$): Un vector $(\vec{v})$ en este espacio se representa como $(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3))$.
• Espacio n-dimensional ($\mathbb{R}^n$): Un vector $(\vec{v})$ en este espacio se representa como $(\vec{v} = (v_1, v_2, …, v_n))$.

En el espacio n-dimensional, las operaciones de suma, resta y multiplicación por un escalar se realizan de la misma manera que en dos o tres dimensiones, generalizándose a n componentes.

Los vectores en espacios n-dimensionales son fundamentales en muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, permitiendo modelar y resolver problemas en contextos complejos y de alta dimensión.

Este desarrollo proporciona una base sólida para entender los vectores y sus operaciones, fundamentales para cualquier estudio de álgebra lineal.