14. Problemas y Ejercicios

La práctica es fundamental para consolidar los conceptos de álgebra lineal. En esta sección, se presentan problemas resueltos, ejercicios propuestos y proyectos prácticos que ayudan a aplicar y profundizar en los conocimientos adquiridos.

14.1 Problemas resueltos de cada tema

Tema 1: Introducción al Álgebra Lineal

Problema 1:
Explique la importancia del álgebra lineal en el campo de la inteligencia artificial y el aprendizaje automático.

Solución:
El álgebra lineal es esencial en inteligencia artificial y aprendizaje automático porque permite la manipulación de grandes cantidades de datos mediante matrices y vectores. Por ejemplo, en el aprendizaje profundo, los datos de entrada y las capas de una red neuronal se representan y transforman mediante operaciones matriciales.


Tema 2: Vectores

Problema 2:
Encuentre la suma y la resta de los vectores $\mathbf{a} = (2, 3)$ y $\mathbf{b} = (-1, 4)$.

Solución:
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)$$
$$\mathbf{a} – \mathbf{b} = (2 – (-1), 3 – 4) = (3, -1)$$


Tema 3: Espacios Vectoriales

Problema 3:
Determine si el conjunto {$(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$} es una base para $\mathbb{R}^3$.

Solución:
El conjunto {$(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$} es una base para $\mathbb{R}^3$ porque es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo $\mathbb{R}^3$.


Tema 4: Matrices

Problema 4:
Calcule el producto de las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Solución:
$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $

$= \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\ 3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3 \end{pmatrix}$

$ = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$


Tema 5: Determinantes

Problema 5:
Encuentre el determinante de la matriz $C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Solución:
$$\det(C) = (2 \cdot 4) – (3 \cdot 1) = 8 – 3 = 5$$


Tema 6: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Problema 6:
Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss:
$$
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x + 3y + 7z = 20 \\
x – y + 4z = 2
\end{cases}
$$

Solución:
Aplicando el método de Gauss, se obtiene:


$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & 3 & 7 & | & 20 \\
1 & -1 & 4 & | & 2
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & 5 & | & 8 \\
0 & -2 & 3 & | & -4
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & 5 & | & 8 \\
0 & 0 & 13 & | & 12
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & 5 & | & 8 \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{12}{13}
\end{pmatrix}$


$z = \frac{12}{13}, \quad y = \frac{8}{13}, \quad x = 6 – y – z = \frac{46}{13} $

TE RECOMENDAMOS LEER:   7. Espacios Vectoriales Euclidianos

La solución es $(x, y, z) = \left(\frac{46}{13}, \frac{8}{13}, \frac{12}{13}\right)$.


Tema 7: Espacios Vectoriales Euclidianos

Problema 7:
Calcule el producto escalar de los vectores $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ y $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$.

Solución:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$$ = 1\cdot4 + 2\cdot5 + 3\cdot6 $$= 4 + 10 + 18 = 32$


Tema 8: Transformaciones Lineales

Problema 8:
Encuentre la matriz de la transformación lineal $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definida por $T(x, y) = (2x + y, x – y)$.

Solución:
La matriz $A$ de la transformación lineal $T$ es:

$$A = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$$


Tema 9: Autovalores y Autovectores

Problema 9:
Encuentre los autovalores y autovectores de la matriz $D = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

Solución:
Resolvemos el polinomio característico:

$\det(D – \lambda I)= \begin{vmatrix} 4 – \lambda & 1 \\ 2 & 3 – \lambda \end{vmatrix} $

$= (4 – \lambda)(3 – \lambda) – 2$

$ = \lambda^2 – 7\lambda + 10 = 0$

Los autovalores son $\lambda = 2$ y $\lambda = 5$.

Para $\lambda = 2$:

$$(D – 2I)\mathbf{v} = 0$$

$$ \implies \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$2x + y = 0 \implies y = -2x$
El autovector asociado es $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Para $\lambda = 5$:

$$(D – 5I)\mathbf{v} = 0 $$

$$\implies \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$-x + y = 0 \implies y = x$

El autovector asociado es $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.


Tema 10: Formas Cuadráticas

Problema 10:
Determine la matriz asociada a la forma cuadrática $Q(x, y) = 3x^2 + 4xy + 2y^2$.

Solución:
La matriz asociada es:
$$A = \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
2 & 2
\end{pmatrix}$$


Tema 11: Espacios Vectoriales con Producto Interior

Problema 11:
Ortogonalice el conjunto {$(1, 0), (1, 1)$} utilizando el proceso de Gram-Schmidt.

Solución:
$$\mathbf{v}_1 = (1, 0)$$

$$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1, 0)$$

$$\mathbf{v}_2 = (1, 1)$$

$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 – \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1} \mathbf{u}_1 $

$= (1, 1) – \frac{1}{1} (1, 0) = (0, 1)$

El conjunto ortogonalizado es ${(1, 0), (0, 1)}$.


Tema 12: Descomposición en Valores Singulares

Problema 12:
Encuentre la descomposición en valores singulares de la matriz $E = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

Solución:

$$E = U \Sigma V^T$$

Donde $U$, $\Sigma$, y $V$ son matrices ortogonales y diagonales respectivamente, calculadas mediante el análisis de $E^TE$ y $EE^T$. Los valores singulares son las raíces cuadradas de los autovalores de $E^TE$.


Tema 13: Análisis de Componentes Principales

Problema 13:
Realice un análisis de componentes principales $PCA$ para el conjunto de datos $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$.

Solución:
Normalice los datos y calcule la matriz de covarianza. Luego, determine los autovalores y autovectores de la matriz de covarianza para encontrar las componentes principales.

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14.2 Ejercicios propuestos

Tema 1: Introducción al Álgebra Lineal

  1. Explique cómo el álgebra lineal se utiliza en la criptografía.
  2. Investigue el papel del álgebra lineal en el procesamiento de imágenes digitales.

Tema 2: Vectores

  1. Encuentre el producto escalar y el ángulo entre los vectores $\mathbf{a} = (1, 2, -1)$ y $\mathbf{b} = (4, -1, 3)$.
  2. Calcule la norma de los vectores $\mathbf{a} = (3, 4)$ y $\mathbf{b} = (-1, 2, 2)$.

Tema 3: Espacios Vectoriales

  1. Verifique si el conjunto {$(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)$} es un espacio vectorial.
  2. Encuentre una base para el subespacio generado por los vectores {$(1, 2, 3), (4, 5, 6)$}.

Tema 4: Matrices

  1. Determine la inversa de la matriz $F = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ si existe.
  2. Calcule el rango de la matriz $G = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$.

Tema 5: Determinantes

  1. Calcule el determinante de la matriz $H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
  2. Utilice el teorema de Laplace para encontrar el determinante de una matriz $3×3$ de su elección.

Tema 6: Sistemas de Ecuaciones Lineales

  1. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales:
    $\begin{cases}
    x + 2y + 3z = 14 \\
    2x + y + z = 10 \\
    3x + 2y + z = 10
    \end{cases}$
  2. Determine si el sistema es compatible y determinado, compatible e indeterminado o incompatible:
    $\begin{cases}
    x + y + z = 6 \\
    2x + 2y + 2z = 12 \\
    x – y + z = 2
    \end{cases}$

Tema 7: Espacios Vectoriales Euclidianos

  1. Encuentre la proyección ortogonal del vector $\mathbf{a} = (3, 4, 5)$ sobre el vector $\mathbf{b} = (1, 1, 1)$.
  2. Calcule la distancia entre los vectores $\mathbf{a} = (2, 3)$ y $\mathbf{b} = (-1, 1)$.

Tema 8: Transformaciones Lineales

  1. Verifique si la transformación $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definida por $T(x, y) = (x + y, x – y)$ es lineal.
  2. Encuentre el núcleo y la imagen de la transformación $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ definida por $T(x, y, z) = (x + y, y + z)$.

Tema 9: Autovalores y Autovectores

  1. Encuentre los autovalores y autovectores de la matriz $J = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$.
  2. Diagonalice la matriz $K = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ si es posible.

Tema 10: Formas Cuadráticas

  1. Determine la naturaleza (positiva definida, negativa definida, indefinida) de la forma cuadrática $Q(x, y) = 2x^2 + 4xy + 3y^2$.
  2. Encuentre los puntos críticos de la forma cuadrática $Q(x, y) = x^2 – xy + y^2$.

Tema 11: Espacios Vectoriales con Producto Interior

  1. Encuentre un conjunto ortonormal para el espacio generado por los vectores {$(1, 1, 0), (0, 1, 1)$}.
  2. Calcule el ángulo entre los vectores $\mathbf{a} = (1, 0, 0)$ y $\mathbf{b} = (0, 1, 0)$.

Tema 12: Descomposición en Valores Singulares

  1. Encuentre la descomposición en valores singulares de la matriz $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
  2. Utilice la descomposición en valores singulares para aproximar la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.
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Tema 13: Análisis de Componentes Principales

  1. Realice un análisis de componentes principales para el conjunto de datos $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$.
  2. Explique cómo el análisis de componentes principales puede reducir la dimensionalidad de un conjunto de datos en un problema práctico.

14.3 Proyectos y aplicaciones prácticas

Proyecto 1: Análisis de datos en el mercado financiero

Desarrolle un proyecto donde utilice el álgebra lineal para analizar datos del mercado financiero. Importe datos históricos de precios de acciones y utilice métodos de álgebra lineal para calcular indicadores financieros como el promedio móvil, el índice de fuerza relativa (RSI) y la regresión lineal para predecir tendencias futuras.


Proyecto 2: Compresión de imágenes

Implemente un proyecto de compresión de imágenes utilizando la descomposición en valores singulares (SVD). Seleccione una imagen y aplique SVD para reducir su tamaño mientras mantiene la calidad de la imagen lo más alta posible. Compare la imagen original con la comprimida y analice la reducción en el tamaño del archivo y la pérdida de calidad.


Proyecto 3: Optimización en la asignación de recursos

Desarrolle un proyecto que utilice métodos de álgebra lineal para optimizar la asignación de recursos en una empresa. Cree un modelo de programación lineal para maximizar las ganancias o minimizar los costos sujetos a restricciones como el presupuesto, la mano de obra y el tiempo. Utilice técnicas como la eliminación gaussiana y la descomposición LU para resolver el modelo.


Proyecto 4: Redes neuronales

Cree una red neuronal básica utilizando el álgebra lineal. Implemente las operaciones matriciales necesarias para el cálculo de las salidas de las neuronas, la propagación hacia atrás y la actualización de los pesos. Entrene la red neuronal con un conjunto de datos simple, como la clasificación de dígitos manuscritos, y evalúe su desempeño.


Proyecto 5: Modelado de sistemas dinámicos

Desarrolle un proyecto donde modele un sistema dinámico utilizando álgebra lineal. Seleccione un sistema como el movimiento de un péndulo o la población de una especie en un ecosistema. Utilice ecuaciones diferenciales lineales y matrices de estado para representar el sistema y resolverlo analíticamente o numéricamente para predecir su comportamiento en el tiempo.


Estos problemas, ejercicios y proyectos no solo ayudarán a entender mejor los conceptos de álgebra lineal, sino que también mostrarán cómo aplicarlos en situaciones prácticas y del mundo real.

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