12. Teorema Espectral

El teorema espectral es una piedra angular en el estudio de álgebra lineal y análisis funcional, con aplicaciones importantes en diversas áreas de las matemáticas y la física. A continuación, se desarrollan las diferentes secciones relacionadas con este teorema con explicaciones claras y detalladas.

12.1 Definición y enunciado del teorema espectral

El teorema espectral se refiere a la diagonalización de matrices o a operadores lineales que son autoadjuntos (hermíticos en el caso complejo) o normales. En el contexto de matrices reales y simétricas, el teorema espectral establece que cualquier matriz simétrica real se puede diagonalizar mediante una matriz ortogonal.

Enunciado del teorema espectral (versión de matrices simétricas):

Para cualquier matriz simétrica real $A$, existe una matriz ortogonal $Q$ y una matriz diagonal $D$ tales que:

$$A = QDQ^T$$

donde las columnas de $Q$ son los autovectores de $A$, y los elementos diagonales de $D$ son los autovalores correspondientes.

Enunciado del teorema espectral (versión de operadores normales):

Para un operador normal $A$ en un espacio de Hilbert, existe una base ortonormal de vectores formada por autovectores de $A$, y $A$ se puede expresar como:

$$A = U\Lambda U^*$$

donde $U$ es una matriz unitaria, $\Lambda$ es una matriz diagonal cuyos elementos son los autovalores de $A$, y $U^*$ es la transpuesta conjugada de $U$.

12.2 Descomposición espectral de matrices

La descomposición espectral es el proceso de escribir una matriz $A$ como producto de una matriz de autovectores y una matriz diagonal de autovalores. Para matrices simétricas reales, el proceso se realiza de la siguiente manera:

TE RECOMENDAMOS LEER:   2. Vectores

1. Encontrar autovalores y autovectores:

  • Calcular los autovalores $\lambda_i$ resolviendo el polinomio característico $\det(A – \lambda I) = 0$.
  • Para cada autovalor $\lambda_i$, encontrar los autovectores $\mathbf{v}_i$ resolviendo $(A – \lambda_i I)\mathbf{v}_i = 0$.

2. Formar la matriz $Q$:

  • Construir la matriz $Q$ usando los autovectores $\mathbf{v}_i$ como columnas. Si los autovectores son ortogonales y normalizados, $Q$ será ortogonal.

3. Formar la matriz $D$:

  • Construir la matriz diagonal $D$ con los autovalores $\lambda_i$ en la diagonal.

4. Descomposición espectral:

  • Finalmente, $A$ se puede expresar como:
    $$
    A = QDQ^T
    $$

Ejemplo:

Para la matriz simétrica $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$:

1. Calcular los autovalores:

El polinomio característico es:

$\det(A – \lambda I) = (4 – \lambda)(3 – \lambda) – 1$

$ = \lambda^2 – 7\lambda + 11$.

Resolviendo $\lambda^2 – 7\lambda + 11= 0$, encontramos los autovalores

$\lambda_1 $ $= 5$ y $\lambda_2 = 2$.

2. Encontrar los autovectores:

Para $\lambda_1 = 5$:
$$(A – 5I)\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{v}_1 = 0$$

$$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Para $\lambda_2 = 2$:
$$(A – 2I)\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{v}_2 = 0$$

$$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

3. Normalizar los autovectores:

Normalizando $\mathbf{v}_1$ y $\mathbf{v}_2$:
$$\mathbf{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

4. Formar $Q$ y $D$:

$$Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
$$ Entonces, la descomposición espectral de $A$ es:

$$A = QDQ^T$$

12.3 Aplicaciones del teorema espectral

El teorema espectral tiene numerosas aplicaciones en matemáticas, física, y ciencias de la computación. Algunas de las aplicaciones más importantes son:

  1. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales: La diagonalización de matrices permite resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de forma más sencilla.
  2. Análisis de estabilidad: En dinámica de sistemas, los autovalores de una matriz jacobiana pueden determinar la estabilidad de los puntos de equilibrio.
  3. Métodos numéricos: Los métodos numéricos como el método de las potencias y el método de iteración inversa se utilizan para encontrar autovalores y autovectores de matrices grandes.
  4. Procesamiento de señales: En el análisis de Fourier y la transformada de Fourier, la diagonalización de matrices es clave para entender la descomposición de señales.
  5. Mecánica cuántica: En mecánica cuántica, los operadores hermíticos representan observables físicos, y sus autovalores corresponden a los posibles valores medidos de dichas observables.
  6. Compresión de imágenes: La descomposición en valores singulares (SVD), que es una generalización del teorema espectral, se utiliza en la compresión y procesamiento de imágenes.
    TE RECOMENDAMOS LEER:   7. Espacios Vectoriales Euclidianos

    Estas aplicaciones demuestran la amplia utilidad y relevancia del teorema espectral en diversas disciplinas y contextos.

    De Ingenierías