10. Formas Cuadráticas

Las formas cuadráticas son expresiones algebraicas que aparecen en muchos contextos de la matemática y sus aplicaciones, como en la optimización, la teoría de matrices y la geometría. Entender estas formas es crucial para el análisis de problemas de diversos campos.

10.1 Definición de forma cuadrática

Una forma cuadrática en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$ es una función $Q: V \to K$ que se puede expresar como un polinomio homogéneo de grado 2 en las coordenadas de un vector. En términos generales, para un vector $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T \in K^n$, una forma cuadrática se puede escribir como:

$ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j $

donde $A$ es una matriz simétrica $n \times n$ de coeficientes en $K$.

Ejemplo:

Para $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ y $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$, la forma cuadrática es:

$ Q(\mathbf{x}) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2 $

10.2 Matriz asociada a una forma cuadrática

Cada forma cuadrática $Q(\mathbf{x})$ está asociada a una matriz simétrica $A$, donde los coeficientes de la matriz corresponden a los términos del polinomio. La matriz $A$ se define de tal manera que:

$ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $

Propiedades:

  • La matriz $A$ es simétrica, es decir, $A = A^T$.
  • Los elementos fuera de la diagonal son simétricos: $a_{ij} = a_{ji}$.

Ejemplo:

Para la forma cuadrática $Q(x_1, x_2) = 3x_1^2 + 4x_1x_2 + 5x_2^2$, la matriz asociada es:

$ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} $

TE RECOMENDAMOS LEER:   1. Introducción al Álgebra Lineal

10.3 Clasificación de formas cuadráticas

Las formas cuadráticas se pueden clasificar en diferentes tipos según sus propiedades. La clasificación más común es:

  1. Positiva definida: $Q(\mathbf{x}) > 0$ para todos los $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$.
  2. Negativa definida: $Q(\mathbf{x}) < 0$ para todos los $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$.
  3. Semidefinida positiva: $Q(\mathbf{x}) \geq 0$ para todos los $\mathbf{x}$.
  4. Semidefinida negativa: $Q(\mathbf{x}) \leq 0$ para todos los $\mathbf{x}$.
  5. Indefinida: $Q(\mathbf{x})$ toma tanto valores positivos como negativos.

Determinación:

La determinación de la clasificación de una forma cuadrática se puede realizar a través de los autovalores de la matriz asociada $A$:

  • Si todos los autovalores son positivos, $Q$ es positiva definida.
  • Si todos los autovalores son negativos, $Q$ es negativa definida.
  • Si todos los autovalores son no negativos (al menos uno es cero), $Q$ es semidefinida positiva.
  • Si todos los autovalores son no positivos (al menos uno es cero), $Q$ es semidefinida negativa.
  • Si tiene autovalores positivos y negativos, $Q$ es indefinida.

10.4 Reducción a forma diagonal

Una forma cuadrática puede ser transformada a una forma diagonal utilizando un cambio de base apropiado. Esto se logra diagonalizando la matriz $A$ asociada a la forma cuadrática. La diagonalización de $A$ permite expresar la forma cuadrática en términos de sus autovalores y autovectores.

Proceso de reducción:

  1. Encontrar los autovalores y autovectores: Para la matriz $A$, resolver la ecuación característica para obtener los autovalores y luego los autovectores correspondientes.
  2. Formar la matriz $P$: La matriz $P$ está formada por los autovectores de $A$ como columnas.
  3. Cambiar a la base de autovectores: La matriz $A$ se puede diagonalizar como $P^{-1}AP = D$, donde $D$ es una matriz diagonal con los autovalores en la diagonal.
TE RECOMENDAMOS LEER:   12. Teorema Espectral

Ejemplo:

Para $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, los autovalores son $\lambda_1 = 5$ y $\lambda_2 = 2$. Los autovectores correspondientes son $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

La matriz $P$ de autovectores es:

$ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $

La matriz diagonal $D$ es:

$ D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $

Entonces:

$ P^{-1}AP = D $

La forma cuadrática original se puede escribir en términos de los nuevos coordenadas (autovectores) como:

$ Q(\mathbf{x}) = 5y_1^2 + 2y_2^2 $

donde $y_1$ y $y_2$ son las nuevas coordenadas en la base de autovectores.


Esta sección cubre las formas cuadráticas en detalle, desde su definición y matriz asociada hasta su clasificación y reducción a forma diagonal, con ejemplos y explicaciones claras para facilitar la comprensión.

De Ingenierías